Geometria: Teorema di Pitagora, spiegazione semplice con esempi

Il Teorema di Pitagora è uno di quegli argomenti di cui sentiamo parlare fin dalle elementari, non solo in ambito scolastico. In realtà molte persone sanno che esiste ma pochi ne conoscono il principio.

Cerchiamo allora di capire meglio di cosa si tratti, utilizzando parole e spiegazioni semplici, come di solito facciamo sul nostro blog.

Prima di tutto inquadriamo il teorema: ci troviamo nella "Geometria del piano", la materia che si occupa di rette, segmenti, angoli, triangoli, perimetri, eccetera, eccetera.

In secondo luogo leggiamo qualche informazione sull'autore, Pitagora, vissuto moltissimo tempo fa, prima ancora della nascita di Gesù di Nazaret e, quindi, del nostro "anno zero". Infatti, il filosofo e matematico greco è nato circa 2.500 anni fa, nel 570 a. C. (avanti Cristo) sull'isola di Samo ed è morto a Metaponto, nell'attuale Basilicata (in Italia) nel 495 a.C.

Il suo famoso teorema riguarda il triangolo rettangolo, chiamato così perché forma un angolo retto di 90° (nell'immagine qui sotto l'angolo "C"), costituito dall'ipotenusa (cos'è l'ipotenusa? Il lato più lungo) e da due cateti (gli altri due lati)


Il triangolo ABC si dice rettangolo in C
La sua ipotenusa è formata dal segmento AB, mentre gli altri due cateti da AC e BC.

Cos'ha fatto Pitagora? In pratica ha prima disegnato tre quadrati, uno per lato del triangolo, utilizzando come base l'ipotenusa e i cateti. Come sappiamo i quadrati hanno quattro lati uguali, quindi il quadrato costruito sull'ipotenusa sarà formato da quattro lati identici, pari alla lunghezza del segmento AB. Stesso discorso per i quadrati costruiti sui cateti. Forse si capisce meglio guardando il disegno che segue:


Qui sopra possiamo osservare il nostro triangolo rettangolo ABC e tre quadrati costruiti sui due cateti e sull'ipotenusa. I quadrati hanno quattro lati uguali. Quello sull'ipotenusa ha quattro lati, ognuno dei quali lungo quanto il segmento AB. Sul primo cateto i quattro lati del quadrato sono lunghi AC, mentre sul secondo sono lunghi BC.

Ora, prima della spiegazione vera e propria, trascriviamo la definizione del Teorema di Pitagora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
In pratica Pitagora, una volta realizzato lo schema in alto, ha notato che l'area del quadrato (se vuoi, leggi anche: Come si calcola l'area di un quadrato) costruito sull'ipotenusa (ossia AB moltiplicato per AB, o AB², dato che l'area di un quadrato si calcola facendo lato per lato) ci dà come risultato un certo numero che è uguale alla somma delle due aree costruite sui due cateti del medesimo triangolo rettangolo.

Proviamo a fare un esempio pratico, un esercizio.
Supponiamo che il nostro triangolo abbia l'ipotenusa pari a 5 (segmento AB), mentre i due cateti sono lunghi, rispettivamente, 3 (segmento AC) e 4 (segmento BC).



Ne consegue che l'area del quadrato sull'ipotenusa sarà pari a 5 per 5 (o 5²), cioè 25. L'area sul primo cateto pari a 9 (perché 3², ossia 3 per 3, dà 9 come risultato). Infine, l'ultima area sarà pari a 16 (da 4²).

Come possiamo notare,
Area ipotenusa (25) = somma aree cateti (9 + 16, cioè 25).
Qui sotto trovate anche la formula.

La formula del Teorema di Pitagora

Il Teorema di Pitagora dice, in formula, che
  • AB² = AC² + BC²
In numeri, riprendendo l'esercizio di prima, abbiamo dunque che 25 = 9 + 16, ossia 25 = 25. Quindi il matematico greco aveva proprio ragione!

Ponendo AB = c, AC = a e BC = b,
possiamo riscrivere la formula nel seguente modo: c² = a² + b², dalla quale calcoliamo:
  • c = √(a² + b²)
  • a = √(c² - b²)
  • b = √(c² - a²)
Con queste formule potrete calcolare anche il singolo cateto, conoscendo i valori dell'ipotenusa e dell'altro cateto, o le loro aree.

Speriamo che il nostro lettore, adesso, abbia le idee un po' più chiare sull'enunciato di Pitagora. In caso di dubbi o domande, scrivete pure sulla pagina Facebook (vedi a lato).
Vi è servita la spiegazione?

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