Cos'è il Massimo Comune Divisore, come si calcola? (Matematica)

Vediamo di capire, con una spiegazione semplice, un tipo di calcolo matematico richiesto in numerosi problemi posti a scuola dall'insegnante di matematica. Stiamo parlando del famoso Massimo Comune Divisore o, più brevemente, MCD.

Come si fa, come si calcola?

Iniziamo a spiegare che cosa sia, l'MCD. Si tratta di un numero che deve avere determinate caratteristiche, in relazione ad altri numeri noti. Già dal nome dovremmo capirlo: il maggiore, il più grande tra i divisori in comune. Nello specifico, i numeri dati devono essere multipli del numero calcolato.

Sicuramente, con qualche esempio, esercizio, tutto sarà più chiaro.

Primo esempio

Se il professore ci chiede di calcolare il Massimo Comun Divisore dei numeri 10 e 15, cosa possiamo rispondere? Allora, 10 e 15 sono i numeri noti, dati, cioè rappresentano le informazioni che abbiamo e dalle quali partiamo per il calcolo.

Per trovare l'MCD di 10 e 15 dobbiamo trovare un altro numero che, moltiplicato per 1, 2, 3 ecc... possa "raggiungere" prima il numero 10 e poi il numero 15.

La prima osservazione che ci viene in mente è che l'MCD sarà sicuramente più piccolo dei numeri noti, quindi sarà minore di 10, questo è certo.

Proviamo con 9. I multipli di 9 sono:
9 (risultato di nove per uno), 18 (risultato di nove per due), ... e qui ci fermiamo perché già il 18 ha superato il nostro 15 e il nostro 10, senza trovare una corrispondenza.
Nessun multiplo di 9 è uguale a 10 o a 15. Quindi lo scartiamo.

Con l'8, calcolando i multipli, abbiamo: 8, 16, 24.... ma niente 10 e niente 15. Perciò non ci interessa.

Stessa cosa con il 7 (7, 14, 21....) e con il 6 (6, 12, 18...).

Che ne dite, allora, del 5?
I multipli di 5 sono: 5, 10, 15... grande! Li abbiamo trovati tutti e due. Ma questo cosa significa?
Vuol dire che, sia il 10 che il 15 sono divisibili per 5, e quindi:

il Massimo Comune Divisore di 10 e 15 è 5.

Proviamo in un altro modo, con gli stessi numeri noti, giusto per capire cosa stiamo facendo.
Elenchiamo tutti i numeri per i quali il 10 e il 15 sono divisibili:
  • il 10 è divisibile per = 1, 2, 5, 10
  • il 15 è divisibile per = 1, 3, 5, 15
Qual è il numero che hanno in comune? Qual è in pratica il Massimo tra i Comuni Divisori?
Il 5.

Esempio più difficile

Nell'esempio appena indicato, però, avevamo solo un comune divisore (escludendo l'1 che è l'unico numero per il quale tutti gli altri sono divisibili), quindi era ovvio scegliere quel numero. Vediamo invece un altro caso, in cui i Comuni Divisori sono di più e noi dobbiamo scegliere il nostro Massimo.

Dobbiamo calcolare l'MCD dei numeri noti 20 e 30.

Iniziamo con il metodo dell'elenco numeri divisori per ciascun numero:
  • il 20 è divisibile per = 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • il 30 è divisibile per = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Analizzando le due serie di numeri ci accorgiamo che i Comuni Divisori (i numeri in comune) sono più di uno, cioè: 1, 2, 5, 10. Questi numeri si trovano sia nella riga del 20 che nella riga del 30.

Ma a noi ne serve uno, quale scegliamo?

Ovviamente il Massimo, perché cerchiamo il Massimo Comune Divisore. Quindi: il 10.

L'MCD di 20 e 30 è 10.

Per numeri complessi si utilizza la scomposizione in fattori primi

Quando i numeri sono un po' più grandi risulta difficile elencare tutti i divisori, perciò si cerca di scomporre entrambi i numeri in fattori primi, cioè in numeri primi (1, 2, 3, 5, 7, 11....).
Nel nostro esempio, con 20 e 30, avremo:
  • 20 = (2 per 10) = (2 x 2 x 5) = (2² x 5)
  • 30 = (2 per 15) = (2 x 3 x 5) = (2 x 3 x 5)
Si prendono i numeri primi comuni con esponente più basso. Nel nostro caso:
il 2 e il 5

Dopodiché si moltiplicano, uno con l'altro (2 x 5), e otteniamo così, di nuovo, il nostro 10, che è il Massimo Comune Divisore.

Esempio più complicato

Risolvere questo problema: MCD (120, 250)

Scomponiamo in fattori primi:
  • 120 = (5 x 24) = (5 x 3 x 8) = (5 x 3 x 2 x 2 x 2) = (5 x 3 x 2³)
  • 250 = (5 x 50) = (5 x 5 x 10) = (5 x 5 x 5 x 2) = (5³ x 2)
Ora non ci rimane che individuare i Comuni Divisori con esponente più basso, cioè 2 e 5, il cui prodotto dà 10. Quindi:
  • MCD (120, 250) = 10
E così via, si calcola il Massimo Comune Divisore per tutte le coppie di numeri.

Come si scrive in formula

Il Massimo Comune Divisore si scrive solitamente in questo modo:
  • MCD (a, b) = c
Nel penultimo esempio avremmo avuto: MCD (20, 30) = 10


A cosa serve il Massimo Comune Divisore

Viene utilizzato per rendere più semplici i calcoli delle frazioni (per approfondire prova a leggere: Cosa sono le frazioni? Come si semplificano?).

Riprendendo l'esempio di prima, potremmo scrivere che:

 

perché, grazie all'MCD (che è 10), sia il 20 che il 30 di possono dividere per lo stesso numero (10), portando ad una comoda semplificazione (20 diviso 10 dà 2 e 30 diviso 10 dà 3), cioè 2/3.

Per capire questo passaggio si deve ricordare che in una frazione, moltiplicando o dividendo, sia il dividendo (il numero che sta sopra la barra di frazione, nell'esempio: 20) che il divisore (il numero che sta sotto la barra di frazione, nell'esempio: 30) per uno stesso numero (nell'esempio: 10), il risultato finale non cambia.

Ora che hai capito il M.C.D., potresti passare al Minimo Comune Multiplo, con una spiegazione semplice ed esercizi.