Come si calcola il quadrato di un binomio. Operazioni con binomi

Riprendiamo il discorso sulle operazioni possibili tra binomi. Oggi vorrei, con una spiegazione semplice, facile da capire, trattare l'operazione del quadrato di un binomio.

Primo dato fondamentale: il quadrato di un numero (o di un insieme di valori o di un monomio) non è altro che la moltiplicazione del numero per se stesso.

Per fare un veloce esempio, possiamo dire che il quadrato di 5 è 25, perché moltiplichiamo 5 per se stesso, attraverso l'operazione: 5 x 5. Stesso discorso per i monomi. Infatti per conoscere il quadrato di "a", dobbiamo calcolare il prodotto (a x a), che darà come risultato: a².

Detto questo passiamo al quadrato di un binomio.

Prendiamo come esempio due binomi che calcoleremo separatamente, iniziando dal primo caratterizzato da una somma (a + b) e poi proseguendo con il secondo, che presenta invece una differenza (a - b).

Qual è il quadrato del binomio (a + b), cioè (a + b)² ?

Allora, (a + b)²  si può scomporre, come abbiamo scritto prima in questo modo:

(a + b) · (a + b)

cioè, moltiplicando il binomio per se stesso. Eseguendo le varie operazioni, prendendo in considerazione ogni monomio presente nelle parentesi, calcoliamo questi passaggi:

a · a = a²
a · b = ab
b · a = ab (oppure "ba", è la stessa cosa)
b · b = b²

Questo esempio risulta particolarmente facile perché tutti i segni sono positivi ("+"). Tornando al prodotto totale, abbiamo quindi:

(a + b)²  =  (a + b) · (a + b)  =  a² + ab + ab + b²

che si può semplificare sommando tra di loro i simboli uguali, come (ab + ab), una somma che equivale a 2ab, il doppio prodotto. Quindi:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Esprimendo l'operazione in formula, potremmo scrivere che:
il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio (a) più il quadrato del secondo monomio (b) più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio (due volte ab).

Passiamo al secondo esempio, con segno meno (differenza)

Qual è il quadrato del binomio (a - b), cioè (a - b)² ?

I passaggi sono gli stessi di prima, quindi possiamo andare un po' più veloci nel calcolo.

(a - b)² = (a - b) · (a - b)

a · a = a²
a · (-b) = - ab
(-b) · a = - ab
(-b) · (-b) = b² (perché "meno" per "meno" dà sempre "più")

I due "ab" si possono mettere insieme, ed essendo entrambi negativi avremo da (- ab - ab) il risultato -2ab. Concludendo:

(a - b)² = a²  - 2ab + b².

Visto il quadrato del binomio, potrebbe esserti utile anche conoscere altre operazioni con binomi: prodotto della somma per la differenza (segui il collegamento per maggiori dettagli).