Operazioni con binomi: prodotto della somma per la differenza

Per quanto riguarda i binomi (ad esempio a + b, ossia la somma di due monomi) esistono alcune regole particolarmente utili, e facilmente dimostrabili, che abbreviano i nostri tempi di calcolo, senza dover affrontare tutti i passaggi previsti.

Tra queste "formulette" vorrei segnalare il prodotto (moltiplicazione) tra due binomi, ognuno dei quali caratterizzato da un'operazione differente, opposta, cioè somma e sottrazione (differenza).

Probabilmente un esempio renderà l'idea meglio di mille altre parole. Ecco una spiegazione semplice.

( a + b ) ( a - b ) = ?

Ricordiamo che mettere le parentesi una vicina all'altra, come nell'esempio, equivale a inserire tra le stesse un simbolo di moltiplicazione ("per", "x", oppure, a volte, si usa il puntino "·" a mezza altezza), cioè:

( a + b ) x ( a - b ) = ?

Vogliamo quindi moltiplicare il primo binomio ( a + b ) caratterizzato da un'operazione interna di somma, con il secondo binomio ( a - b ) caratterizzato, invece, da una sottrazione, differenza ( a - b ).

Bene, chiarita la premessa, passiamo subito al risultato finale che ci fa risparmiare molto tempo e ulteriori calcoli:

( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

Fatto. Ecco il risultato finale. Non è fantastico quando otteniamo questo tipo di finale così pulito e semplice? Già.

Possiamo imparare questa regola a memoria, ossia che il prodotto della somma di un binomio per la differenza dello stesso binomio dà come risultato la differenza dei quadrati, ma potrebbe essere utile anche capire come è stato possibile arrivare a tale conclusione.

Dimostrazione
Seguendo passo passo avremmo, moltiplicando ogni monomio per gli altri due, tenendo ben presenti i segni "più" e "meno":

( a + b ) · ( a - b ) = a² - ab + ab - b²

perché

a · a =  a²
a · (-b) = - ab
b · a = ab
b · (-b) = - b²

Ma, attenzione, -ab + ab si annullano a vicenda (è come dire -4 + 4) e danno quindi come risultato "0" (zero). Perciò, rimarranno solo i due quadrati (a² - b²), con un'operazione di differenza perché "b" si porta dietro il segno negativo.

Per approfondire il discorso sui binomi, ti consiglio di leggere anche Operazioni con binomi: calcolo del quadrato di un binomio. Spero sia tutto chiaro ora.