Proprietà delle operazioni matematiche

Una volta capite le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni, cioè le operazioni aritmetiche, matematiche, fondamentali, potrebbe essere utile passare ad un livello successivo, imparando anche le loro proprietà.

Possiamo avere la proprietà commutativa, quella associativa, la distributiva e anche l'invariantiva (forse meno utilizzata e conosciuta). Ma cosa sono?

Le proprietà delle operazioni sono delle regole che ci permettono di fare calcoli in maniera corretta, senza sbagliare. Partiamo dalla prima.

Proprietà commutativa delle operazioni, spiegazione semplice

Prima dobbiamo distinguere due casi: addizione e moltiplicazione

Proprietà commutativa dell'addizione
In una somma, cambiando l'ordine degli addendi, dei numeri che si trovano intorno al segno "+", il risultato non cambia, rimane uguale.

Esempi:
  • possiamo scrivere 10 + 5 ma potremmo anche scrivere 5 + 10, perché grazie a questa proprietà, il risultato sarà sempre 15
  • ancora: 4 + 6 + 9 darà lo stesso risultato di 9 + 6 + 4, cioè 19
Regola generale: a + b = b + a

Proprietà commutativa della moltiplicazione
In una moltiplicazione, modificando l'ordine dei fattori, il prodotto non varia.

Esempi:
  • 10 x 5 = 50, ma anche 5 x 10 = 50
  • 10 x 5 x 2 = 100, così come 2 x 5 x 10 = 100
Regola generale: a x b = b x a

Proprietà associativa delle operazioni

Anche qui dobbiamo distinguere tra addizione e moltiplicazione

Proprietà associativa dell'addizione
In una somma composta da tre addendi, due dei quali associati (cioè, una somma a due numeri inseriti in una parentesi) il risultato non cambia, se si varia l'ordine.

Esempio:
  • (5 + 3) + 7 si può scrivere anche come 5 + (3 + 7). La somma è sempre 15
    in questo esercizio, prima il 5 e il 3 sono associati (messi insieme in parentesi), mentre dopo lo sono il 3 e il 7.
Regola generale: (a + b) + c = a + (b + c)

Inoltre, con questa proprietà possiamo anche sostituire, in una somma di più numeri, due addendi con il risultato della loro somma. Per capire meglio segui il prossimo esercizio.

Esempio:
  • 5 + 3 + 7 + 10 = 25
    in questo caso, potremmo anche sommare tra loro due addendi dei quattro disponibili (ad esempio il 3 e il 7, che insieme fanno un bel 10) e inserire al loro posto il risultato ottenuto, cioè:
    5 + (3 + 7) + 10 =
    5 + (10) + 10 =
    5 + 10 + 10 = 25
    Il risultato finale, come si vede, non cambia
Proprietà associativa della moltiplicazione
Il prodotto di tre fattori, due dei quali associati, non cambia se viene modificando l'ordine delle associazioni.

Esempio:
  • (5 x 3) x 2 si può scrivere anche come 5 x (3 x 2). Il prodotto è sempre 30
    prima il 5 e il 3 sono associati, mentre dopo lo sono il 3 e il 2.
Regola generale: (a x b) x c = a x (b x c)
Anche qui, come prima, all'interno di una moltiplicazione a più numeri, possiamo sostituire due fattori con il loro prodotto.

Esempio:
  • 5 x 3 x 2 x 10 = 300
    sostituendo, ad esempio, il 2 e il 10 con il loro prodotto, abbiamo che:
    5 x 3 x (2 x 10) =
    5 x 3 x (20) =
    5 x 3 x 20 = 300



Proprietà distributiva delle operazioni

Questa volta, a differenza delle precedenti, procediamo con moltiplicazioni e divisioni.

Proprietà distributiva della moltiplicazione
Se dobbiamo moltiplicare un numero per una somma, possiamo tranquillamente moltiplicare quello stesso numero per ognuno dei due addendi, e poi sommare i prodotti.

Esempio:
  • 5 x (3 + 2) = 5 x 5 = 25
    con la proprietà distributiva, possiamo anche scrivere:
    (5 x 3) + (5 x 2) = 15 + 10 = 25
  • (4 + 2) x 3 = 6 x 3 = 18
    con la distributiva:
    (4 x 3) + (2 x 3) = 12 + 6 = 18
Allo stesso modo, se ci trovassimo di fronte ad un'operazione del genere:
  • 5 x 3 + 5 x 4 = 35
potremmo adottare la regola del Raccoglimento a fattore comune, prendendo il fattore comune, cioè il 5, e moltiplicarlo per la somma degli altri due, cioè:
  • 5 x (3 + 4) = 35
Regola generale: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Attenzione!
La proprietà distributiva non vale per le addizioni con le moltiplicazioni. Invertendo le operazioni dell'esercizio di prima, se abbiamo:
  • 5 +  (3 x 2)
non possiamo scrivere (5 + 3) x ( 5 + 2)... NO, questo è sbagliato. La regola qui non vale, infatti il risultato sarebbe diverso: nel primo dà 11, nel secondo dà 56.

Proprietà distributiva della divisione
Anche nelle divisioni si può utilizzare la regola.
Avendo una somma da dividere per uno stesso numero, possiamo dividere per tale numero ognuno dei due addendi e poi sommare i quozienti ottenuti.

Esempio:
  • (18 + 12) : 6 = 30 : 6 = 5
    si può scrivere anche come:
    (18 : 6) + ( 12 : 6) = 3 + 2 = 5
Regola generale: (a + b) : c = (a : c) + (b : c)

Proprietà invariantiva delle operazioni

L'ultimo caso che trattiamo è quello della meno conosciuta "invariantiva", utilizzata per sottrazioni e divisioni.

Proprietà invariantiva della sottrazione
Prendendo una sottrazione qualsiasi tra due numeri, se noi sommiamo (o togliamo) uno stesso numero da tutti e due i termini (minuendo e sottraendo), il risultato non cambia.

Esempio:
  • 10 - 5 = 5
    se noi sommiamo ad entrambi il numero 3, abbiamo:
    (10 + 3) - (5 + 3) =
    13 - 8 = 5
    il risultato non varia.
Regola generale: a - b = (a + c) - (b + c)
Nota bene: "a" dev'essere maggiore o uguale a "b" e "c" dev'essere minore o uguale e "b".

Proprietà invariantiva della divisione
Abbiamo una divisione qualsiasi tra due numeri. Moltiplicando (o dividendo) entrambi i termini (minuendo e sottraendo) per uno stesso numero, otteniamo il medesimo risultato.

Esempio:
  • 20 : 10 = 2
    con la proprietà invariantiva, possiamo scrivere:
    (20 x 2) : (10 x 2) =
    40 : 20 = 2
    quindi, lo stesso quoziente di prima.
Regola generale: a : b = (a x c) : (b x c)
Nota bene: "b" e "c" devono essere diversi da zero.