Area e perimetro del cerchio. Formule ed esercizi (geometria)

Finora abbiamo visto le figure piane formate da linee rette, segmenti che si incrociano formando angoli di diversi tipi. Pensiamo al quadrato, al triangolo, ad esempio.

Oggi cerchiamo di imparare qualcosa su un'altra figura piana interessante, il cerchio.

Come si fa un cerchio? Come si calcola il suo perimetro? Qual è la formula dell'area?

Ottime domande. Andiamo con ordine, iniziando con una spiegazione semplice.

Tutti noi conosciamo la figura del cerchio. Pensiamo al sole, al fondo del bicchiere, alla ruota della bicicletta.

In matematica, anzi, in geometria, il cerchio è formato da un insieme di punti, che si trovano alla stessa distanza da un unico centro. Guarda la figura qui sotto:

Un Cerchio


Nel cerchio disegnato trovate un punto centrale, un centro, che abbiamo chiamato "O".
La distanza che va da "O" ad ogni punto della circonferenza è sempre uguale.

Potremmo riempire la linea rossa di punti chiamati "B" ed avere la distanza OB (guardate il segmento di colore blu) sempre uguale, come una lancetta dell'orologio che si sposta, segnando tutti i minuti delle 12 ore.

Il compasso, indispensabile per disegnare cerchi perfetti, si basa su questa regola. Quando allarghiamo il compasso decidiamo la lunghezza del segmento OB.
Fissiamo la punta nel centro del foglio e con l'altra "gamba" del compasso, quella con la matita, tracciamo una linea in tondo, fino a formare il cerchio.

Bene, questo è molto importante, perché il nostro segmento OB, quando parliamo di cerchio in geometria, si chiama "RAGGIO" e si indica con la lettera minuscola "r".

Se invece il raggio "r" continuasse oltre il punto centrale "O" fino a toccare di nuovo la circonferenza, allora avremmo un nuovo segmento, che misurerà il doppio di "r".

Il segmento AOB viene detto "DIAMETRO" e si indica con la lettera "d".

Raggio e Diametro del Cerchio

Guardate bene la figura.
Abbiamo un cerchio.
Un raggio "r" che misura OB.
Un diametro "d" che misura AB.

Attenzione!
Sia il raggio che il diametro devono sempre toccare il centro del cerchio.

Bene, cosa possiamo dire del diametro?
Che la sua lunghezza è due volte quella del raggio, quindi è il doppio.
Se avessimo un raggio che misura 5, allora il diametro sarebbe uguale a 10.
Ancora, se r = 12, allora d = 24, e così via.

In formula:
  • d = 2r
    cioè, diametro uguale a due per raggio
Mentre, all'inverso,
  • r = d/2
    cioè, raggio uguale a diametro diviso due, quindi la metà
Ottimo. Ora viene il difficile...

Per calcolare il perimetro (la lunghezza della circonferenza) e l'area del cerchio, non possiamo contare solo sul raggio e sul diametro. Abbiamo bisogno di un piccolo "trucchetto", di un numero speciale, scoperto tantissimo tempo fa da grandi matematici:
  • il "PI GRECO", indicato con il simbolo "π"
La circonferenza è una curva chiusa, il "π" è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. Questo numero è sempre uguale, è lo stesso per tutti i cerchi, non importa se piccoli o grandi.


Quanto misura il Pi Greco "π"? Quanto è, a quanto equivale?


Come scritto prima, il "π" è un numero che non varia mai.
Esso è formato da tantissime cifre (3,141592653589....), è un numero periodico infatti, ma di solito, per rendere i calcoli più semplici, viene definito con il numero 3,14.

Quindi, riassumendo, abbiamo un raggio "r", un diametro "d" e un pi greco "π".

Se conosciamo il raggio possiamo calcolare il diametro moltiplicando per due.
Se conosciamo il diametro possiamo calcolare il raggio dividendo per due.

Come si calcola il perimetro del cerchio?

Il perimetro del cerchio è la lunghezza della circonferenza.
Per fare questo calcolo si deve usare una formula:
  • P = 2πr
    cioè, perimetro uguale a due per pi greco per raggio
Sapendo che il raggio moltiplicato per due è uguale al diametro, possiamo anche scrivere la formula:
  • P = πd
    cioè, perimetro uguale a pi greco per diametro
Facciamo due esercizi, per capire meglio

1) abbiamo un cerchio con raggio pari a 10, calcoliamo il perimetro
  • raggio r = 10
  • pi greco π = 3,14
  • perimetro P = 2πr
    cioè:
    P = 2 x 3,14 x 10
    che fa,
    P = 6,28 x 10 = 62,8
Dunque, la circonferenza del cerchio avente per raggio 10 misura 62,8.

2) prendiamo un cerchio con diametro uguale a 4, calcoliamo il raggio e il perimetro
  • d = 4
  • π = 3,14
  • r = d/2
    il raggio è uguale al diametro diviso due
    cioè,
    r = 4/2 = 2
  • mentre il perimetro (la circonferenza) è:
    P = πd = 3,14 x 4 = 12,56
Il raggio misura 2 e il perimetro misura 12,56.

Come si calcola l'area del cerchio?

Ora facciamo un passo in avanti.
Mentre il perimetro è la lunghezza della circonferenza, cioè della linea di contorno, l'area, invece, è la misura di tutto il cerchio, del suo contenuto. Guarda in figura:


Il perimetro è il contorno.
L'area è il contenuto.

Bene, procediamo.
Per calcolare l'area del cerchio abbiamo di nuovo bisogno di una formula:
  • A = πr²
    cioè, area uguale a pi greco per raggio al quadrato
Mentre prima moltiplicavamo π per il doppio del raggio, ora lo moltiplichiamo per il quadrato del raggio. Usiamo quindi le potenze (se hai dubbi sull'argomento, leggi "Come si calcolano le potenze").

Tre esercizi renderanno tutto più semplice.

1) abbiamo un cerchio con raggio pari a 10, calcoliamo l'area
  • raggio r = 10
  • pi greco π = 3,14
  • area A = πr²
    cioè:
    A = 3,14 x (10)²
    ricordiamo che si calcola sempre prima la potenza (10 x 10) e poi la moltiplicazione, quindi:
    A = 3,14 x 100 = 314
Dunque, l'area del cerchio avente per raggio 10 misura 314.

2) prendiamo un cerchio con diametro uguale a 4, calcoliamo il raggio e l'area
  • d = 4
  • π = 3,14
  • r = d/2
    cioè,
    r = 4/2 = 2
  • mentre l'area è:
    A = πr²
    = 3,14 x (2)²
    = 3,14 x 4
    = 12,56
Il raggio misura 2 e l'area misura 12,56.

3) un cerchio con diametro pari a 30, calcolare raggio e area
  • d = 30
  • π = 3,14
  • r = d/2
    cioè,
    r = 30/2 = 15
  • l'area è:
    A = πr²
    = 3,14 x (15)²
    = 3,14 x 225
    = 706,5
Se il diametro è 30, il raggio è 15 e l'area è 706,5.

Per esercizio, provate a calcolare il perimetro di questo ultimo esempio.

Riassunto: le formule del cerchio

  • P = 2πr (Perimetro)
  • A = πr² (Area)
Ricordando sempre che π è uguale a 3,14.

Curiosità
Nel corso dei secoli si è cercato di individuare il maggior numero di decimali dopo la virgola del π (Pi greco). I migliori risultati si sono ottenuti nel 1900 con l'arrivo dei calcolatori elettronici. Così si è passati dagli 808 decimali calcolati da Ferguson nel 1947, agli oltre mille miliardi di cifre π del gruppo di ricerca condotto da Kanada all'Università di Tokyo, nel 2002.
Tuttavia, non si è ancora trovata la fine di questo straordinario Pi greco.