Cos'è il monomio? E il suo grado? Come si riduce a forma normale? Spiegazione semplice

Riprendiamo una materia tanto amata (vero?) dagli studenti delle scuole: la matematica, o meglio ancora, l'algebra. Quindi operazioni con numeri e lettere.

Tra le più semplici espressioni algebriche troviamo sicuramente i monomi.

A questo punto vi chiederete: "Che cos'è un monomio?".
Bene, se non conoscete la risposta siete capitati nella pagina giusta.

Cerchiamo di capire l'argomento con una spiegazione semplice.

I monomi sono, come scritto prima, particolarmente semplici.
Spesso sono utilizzati nelle formule matematiche o della fisica, e anche in economia.

Partiamo da un esempio facile facile.

Pensiamo alla geometria, al calcolo dell'area di un triangolo.
Come sappiamo, l'area (A) è uguale alla base (b) moltiplicata per l'altezza (h), il tutto diviso due. In formula abbiamo:
  • A = (b·h) / 2
La parte destra, cioè (b·h) / 2, viene detta "monomio".

Voi vi chiederete ancora "Va bene, ma perché?"

La caratteristica del monomio è quella di essere un insieme compatto, formato da lettere e moltiplicazioni e potenze. Ma non addizioni o sottrazioni. 

Vediamo alcuni esempi di monomi:
  • 4ab
  • 3b
  • 2a²b³
  • -axb
  • (4-3)b
Questi sono cinque monomi. Nell'ultimo caso trovate una sottrazione (4-3) ma riguarda la parte dei numeri e non quella letterale. La soluzione infatti sarebbe 1b, perché (4-3) =1.

Nel caso vi sia solo il segno "-" davanti alla lettera potreste pensarlo come un "-1"; stessa cosa con il segno "+", che diventa "+1". In questo modo avrete la parte numerica del monomio, anche quando a prima vista non appare.

Esempi:
  • -ab = -1ab
  • xy = +1xy (infatti, quando non viene specificato il segno è sottinteso che sia positivo, quindi un "+").
Definizione: il numero del monomio viene detto "coefficiente", mentre l'insieme delle lettere viene detta "parte letterale".

Invece, non sono monomi:
  • 4a + b
  • 2a² - b³
  • (4-3)b + 3ax
Queste operazioni possono essere definite come somme o sottrazioni di monomi, ma l'insieme non è un monomio.

Una somma o sottrazione di monomi, può però diventare un monomio, se i monomi sono simili (cioè con stessa lettera e potenza):
  • 2a² + 3a² è una somma di monomi che può diventare un monomio, cioè: 5a²
    perché la parte letterale (a²) è identica nei due monomi
Pian piano diventerà semplice capire quando si tratta di un monomio e quando no.

Intanto, facendo un passo in avanti, possiamo affermare che tutti i numeri sono monomi!
No, non è magia, ma semplice matematica. Ecco perché.

Pensiamo al numero 5. Questo è un monomio.

Vi chiederete "Ma dove sono le lettere?".
Già... dove sono? 
Forse non lo sapete, ma le lettere le possiamo creare dal nulla noi, utilizzando alcune famose regole.

A scuola avete imparato che un numero elevato alla potenza "0" (zero) dà come risultato "1", vero?
  • Infatti 5º=1, così come 13º=1
Vale per qualsiasi numero. 
Più in generale, qualsiasi numero che chiameremo "X" elevato a zero dà 1
  • Xº=1
  • quindi, anche aº=1 ; bº=1 ; cº=1 e così via...
[Se vuoi leggi l'argomento Come si calcolano le potenze? Proprietà e casi particolari]
Tornando ora al discorso di prima, il 5 è un monomio perché potremmo scriverlo in questo modo:
  • 5aº = 5·1 = 5
Il 5aº è un monomio, come sappiamo. Di conseguenza anche il 5 è un monomio.
Vediamo altri esempi:
  • 7 = 7bº
  • 9 = 9xºyº
  • 12 = 12aºbºcº
Nota Bene: quando si mette un numero vicino a delle lettere significa che quel numero lo moltiplichiamo per le lettere vicine. Il simbolo di moltiplicazione ("per"), che in matematica semplice è la "x", in algebra non si usa perché si confonderebbe con la "x" che viene definita incognita. A volte viene usato il puntino centrale per rappresentare la moltiplicazione (come potete vedere negli esempi fatti prima: b·h si legge "b per h"). Di solito, però, non si mette nulla: 2ab, per esempio, è sottinteso che sia "due per a per b".
Cosa sono i monomi a forma normale?

Un monomio a forma normale è un monomio formato da un numero che moltiplica una lettera o più lettere diverse tra loro.
  • 2a²b³ ---> è un monomio ridotto a forma normale
  • 2ba²b² ---> non è un monomio ridotto a forma normale (infatti ci sono lettere uguali, le "b")
Quando siamo di fronte ad un monomio come l'ultimo qui sopra, possiamo provare a ridurlo a forma normale. Ecco come si fa.

Ad esempio, abbiamo il monomio 
  • 4a²b³3ab²
e vogliamo trasformarlo in forma normale (solo un numero e solo lettere diverse tra loro):

Primo passo, portiamo vicini i numeri e le lettere simili, ottenendo:
  • 4·3a²ab²b³
Poi inseriamo le parentesi per dividere i gruppi, in questo modo:
  • (4·3)(a²a)(b²b³)
Ora possiamo semplificare le singole parentesi, con le regole che già conosciamo:
  • (4·3) = 12
  • (a²a) = (a²a¹) = a³
  • (b²b³) = b5
[Se hai dubbi su questi calcoli, ripassati le potenze seguendo il link segnalato qualche riga sopra].
Tornando al nostro monomio da ridurre a forma normale, scriviamo i risultati appena ottenuti:
  • 12a3b5
  • quindi il monomio (non ridotto) 4a²b³3ab² è uguale al monomio (ridotto) 12a3b5
Come vedete, alla fine abbiamo ottenuto un bel monomio a forma normale. Non è difficile, basta esercitarsi: provate ad inventare voi dei monomi da ridurre.

Come si definisce il grado del monomio?

Per capire quale sia il grado di un monomio bisogna calcolare la somma di tutti gli esponenti presenti sulle lettere del monomio stesso, anche se le lettere sono diverse.

E se l'esponente non c'è lo contate come un "1".

Vediamo alcuni esempi:
  • 4ab (due esponenti "1", quindi 1+1=2, il monomio è di 2° grado)
  • 3b (un esponente "1", monomio di 1° grado)
  • 2a²b³ (due esponenti: 2+3 = 5, monomio di 5° grado)
  • -axb (tre esponenti: 1+1+1 = 3, monomio di 3° grado)
  • (4-3)b (monomio di 1° grado)
Esempio più difficile, visto prima:
  • sia (4a²b³3ab²), cioè il monomio non ridotto, che (12a³b5), cioè il monomio poi ridotto, danno tutti e due come grado "8" (primo monomio: 2+3+1+2=8 ; secondo monomio: 3+5=8).
    Da questo impariamo che il grado non cambia quando riduciamo a forma normale un monomio.