Operazioni con i monomi. Somma, sottrazione e moltiplicazione

Dopo aver visto cosa siano i monomi, come calcolarne il grado e come ridurli alla forma normale (tutte spiegazioni che trovi nel nostro precedente capitolo, segnalato qui sotto a fine testo), oggi cerchiamo di imparare le operazioni con i monomi. Per ogni punto troverete anche degli esercizi svolti.

Esistono somme o sottrazioni tra monomi che danno come risultano un monomio.

Ad esempio, 2a³ + 3a³

raccogliendo a³ come fattore comune, avremo

(2+3)a³ = 5a³

cioè un monomio.

Non sempre, però, è possibile questa semplificazione. Pensiamo al caso di:

2a³ + 3a

Qui non possiamo raccogliere a fattor comune, poiché le lettere "a" non hanno lo stesso esponente. Per semplificare ed ottenere un monomio, i monomi in questione devono avere la parte letterale identica (esponenti inclusi).

Un momento... con questo ragionamento possiamo imparare anche delle definizioni:
I monomi si dicono simili quando hanno la parte letterale uguale.
2a³ + 3a³ (monomi simili)
2a³ + 3a (monomi non simili)
Quindi, se sommiamo o sottraiamo due monomi simili il risultato sarà un monomio.
Invece, se sommiamo o sottraiamo due monomi non simili il risultato non sarà un monomio, ma la somma o la sottrazione di due monomi.

Somma di monomi simili
La somma di due o più monomi simili è uguale a un monomio avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma dei coefficienti dei monomi.
Esempio:
4b + 12b = 16b

dove "b" è la parte letterale, 4 e 12 sono i coefficienti dei due monomi, 16 è la somma dei coefficienti.

Esercizio più complicato:
2a²b³ + 8a²b³ + 10a²b³ = ?

Come potete notare si stratta di tre monomi simili, perché hanno la stessa parte letterale. Possiamo quindi avere come risultato un unico monomio.
Basterà sommare i tre coefficienti (2, 8 e 10) e riportare la parte letterale.

2a²b³ + 8a²b³ + 10a²b³ =
(2 + 8 + 10)a²b³ =
20a²b³

Stesso discorso per le sottrazioni.
Esercizi
  • 24a - 9a = (24 - 9)a = 15a
  • 30b³ - 5b³ + 2b³ = (30 - 5 + 2)b³ = 27b³
Passiamo ad un'altra definizione:
Due monomi simili si dicono opposti se hanno opposti i propri coefficienti.
La somma di due monomi opposti dà come risultato 0.
Esempi di monomi opposti e loro somma:
  • 3a + (-3a) = 3a - 3a = 0
  • 2b + (-2b) = 2b - 2b = 0 
Moltiplicazione di monomi

Nelle moltiplicazioni tra monomi la storia è differente.
Qui non serve che i monomi abbiano la stessa parte letterale, si possono trasformare tranquillamente in un monomio.

Ad esempio,
  • 3a · 5a = (3 · 5) · (a · a) = 15a²
Gli esponenti delle lettere in questo caso si sommano. le due "a" sono elevate a 1 (come potenza), quindi 1+1 = 2, e 2 sarà l'esponente della nostra parte letterale.

Altro esempio,
  • 2b³ · 8b² = (2 · 8) · (b³ · b²) = 16b⁵
Ora andiamo sul complicato,
  • 2a²b³ · 8ab² · 10a³b = ?
Come potete notare, le parti letterali son tutte diverse. Tuttavia, come abbiamo visto, questo aspetto non ci crea problemi nelle moltiplicazioni. Tutto quello che si deve fare è solo moltiplicare tra loro i coefficienti, e poi sommare gli esponenti con la stessa base letterale (esponente di "a" con esponente di "a", esponente di "b" con esponente di "b").
Perciò:
  • 2a²b³ · 8ab² · 10a³b = 
  • (2 · 8 · 10) · (a²b³ · ab² · a³b)=
  • 160 · (a² · a · a³ · b³ · b² · b) =
    sommando gli esponenti di "a": 2+1+3 = 6
    sommando gli esponenti di "b": 3+2+1 = 6
    avremo:
  • 160a⁶b⁶
Un bel monomio di 12° grado (leggi sotto la pagina che spiega il grado di un monomio)

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Nel prossimo capitolo troverete una spiegazione semplice delle altre operazioni tra monomi.