Rituffiamoci nel mondo della geometria con un argomento tanto importante quanto "difficile".
In realtà sembra complicato; passando poi alla pratica, con i problemi e gli esercizi, vedrete che tutto diventerà più chiaro.
Dopo aver visto il Teorema di Pitagora, vediamo oggi i due famosi Teoremi di Euclide, basati entrambi sul triangolo rettangolo. Iniziamo dal primo.
Primo Teorema di Euclide
Si parte da un triangolo rettangolo con l'angolo retto (di 90 °) rivolto verso l'alto. Questo vertice lo chiameremo "C". Come base definiamo il segmento AB.
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1° Teorema di Euclide |
(Perdonate i disegni fatti a mano, l'angolo in C dev'essere retto)
- AB = base (Ipotenusa)
- AC = cateto minore
- BC = cateto maggiore
Cosa ci dice il teorema?
Definizione del 1° teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull'ipotenusa.
Scritto così non si capisce molto, vero? Non è immediato il ragionamento, quindi procediamo passo per passo.
Euclide ci sta dicendo che costruendo un quadrato sul cateto BC:
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1° Teorema di Euclide. Quadrato su cateto |
e costruendo un rettangolo (attenzione, "rettangolo" e non "quadrato") sul segmento HB, avendo per lato corto appunto HB e per lato lungo (attenzione di nuovo) il segmento AB (cioè l'ipotenusa):
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1° Teorema di Euclide. Quadrato su cateto e rettangolo su proiezione ipotenusa |
- AB:BC = BC:HB
- cioè, l'ipotenusa AB sta al cateto BC come il cateto BC sta al segmento HB
Euclide dice che ogni cateto è "medio proporzionale" tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa ("medio proporzionale" perché nella proporzione il segmento BC si trova proprio in mezzo, nelle due posizioni medie, subito a destra e a sinistra del simbolo "=").
Quando i due medi si ripetono, come in questo caso, la proporzione si dice "continua".
Quindi, conoscendo la proporzione, possiamo trovare facilmente una formula che ci potrà aiutare molto nella risoluzione dei problemi. Infatti:
- se AB:BC = BC:HB, allora possiamo ottenere che
- BC ² = AB · HB
- Ad esempio, può essere utile usare la proporzione quando l'incognita è uno dei due segmenti estremi (nel nostro caso AB oppure HB, cioè l'ipotenusa o la proiezione).
- Se invece l'incognita è il cateto BC, allora potrebbe convenire utilizzare la formula: infatti, BC sarà uguale alla radice quadrata di AB per HB.
Nota bene: gli stessi discorsi fatti fin qui valgono anche per l'altro cateto (AC).
In questo caso avremo:
- come proporzione AB:AC = AC:AH
dove AH è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa AB - e come formula AC ² = AB · AH
da cui, per trovare AC, si farà la radice quadrata di (AB · HB)
- Dati AB=25 e HB=16
- allora BC = √(AB·HB)
cioè, uguale alla radice quadrata di AB per HB - in numeri:
BC = √(25·16)
BC = √400
BC = 20
- Dati AB=25 e HB=16
- AH = AB - HB
AH = 25 - 16 = 9
- AC = √(AB·AH)
AC = √(25·9)
AC = √(225) = 15
- AB:36 = 36:28,8
cioè, AB sta a 36 come 36 sta a 28,8.
- AB = 36 ² / 28,28
AB = 1296 / 28,28 = 45
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