Primo Teorema di Euclide. Spiegazione con esercizi svolti

Rituffiamoci nel mondo della geometria con un argomento tanto importante quanto "difficile".

In realtà sembra complicato; passando poi alla pratica, con i problemi e gli esercizi, vedrete che tutto diventerà più chiaro.

 Dopo aver visto il Teorema di Pitagora, vediamo oggi i due famosi Teoremi di Euclide, basati entrambi sul triangolo rettangolo. Iniziamo dal primo.

Primo Teorema di Euclide

Si parte da un triangolo rettangolo con l'angolo retto (di 90 °) rivolto verso l'alto. Questo vertice lo chiameremo "C". Come base definiamo il segmento AB.

1° Teorema di Euclide

(Perdonate i disegni fatti a mano, l'angolo in C dev'essere retto)

Definiamo i tre segmenti del triangolo:

• AB = base (Ipotenusa)
• AC = cateto minore
• BC = cateto maggiore

Per portarci avanti abbiamo già segnato il punto H, ottenuto tracciando una linea perpendicolare alla base AB, partendo dal vertice C. Se ci fate caso, questa linea divide il nostro triangolo rettangolo in altri due triangoli rettangoli più piccoli (AHC e HBC), con le basi AH e HB.

Il segmento HB non è altro che la proiezione del cateto BC sull'ipotenusa AB.

Cosa ci dice il teorema?

Definizione del 1° teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull'ipotenusa.

Scritto così non si capisce molto, vero? Non è immediato il ragionamento, quindi procediamo passo per passo.

Euclide ci sta dicendo che costruendo un quadrato sul cateto BC:

1° Teorema di Euclide. Quadrato su cateto

e costruendo un rettangolo (attenzione, "rettangolo" e non "quadrato") sul segmento HB, avendo per lato corto appunto HB e per lato lungo (attenzione di nuovo) il segmento AB (cioè l'ipotenusa):

1° Teorema di Euclide. Quadrato su cateto e rettangolo su proiezione ipotenusa

si ottiene che l'area del quadrato costruita sul cateto BC è uguale all'area del rettangolo costruito su HB (che, ricordiamo, è la proiezione di BC sull'ipotenusa).

In pratica il quadrato in alto ha quattro lati uguali, pari al segmento BC, mentre il rettangolo in basso ha un lato corto pari a HB e un lato lungo pari a AB (che è l'ipotenusa del triangolo rettangolo dal quale siamo partiti).

Da questo possiamo ricavare la proporzione:

• AB:BC = BC:HB
• cioè, l'ipotenusa AB sta al cateto BC come il cateto BC sta al segmento HB

Euclide dice che ogni cateto è "medio proporzionale" tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa ("medio proporzionale" perché nella proporzione il segmento BC si trova proprio in mezzo, nelle due posizioni medie, subito a destra e a sinistra del simbolo "=").
Quando i due medi si ripetono, come in questo caso, la proporzione si dice "continua".

Quindi, conoscendo la proporzione, possiamo trovare facilmente una formula che ci potrà aiutare molto nella risoluzione dei problemi. Infatti:

• se AB:BC = BC:HB, allora possiamo ottenere che
• BC ² = AB · HB

Si tratta di una semplice risoluzione di equazione: pensate la proporzione come se fosse (AB fratto BC) = (BC fratto HB). Moltiplicando tutto prima per BC e poi per HB, otteniamo appunto (BC ² = AB · HB).

La proporzione e la formula non sono altro che due modi diversi di vedere il primo Teorema di Euclide.

In base al problema che vi si pone, ai dati noti e a quelli da trovare, può essere conveniente utilizzare o uno o l'altro metodo. La proporzione o la formula.

• Ad esempio, può essere utile usare la proporzione quando l'incognita è uno dei due segmenti estremi (nel nostro caso AB oppure HB, cioè l'ipotenusa o la proiezione).
• Se invece l'incognita è il cateto BC, allora potrebbe convenire utilizzare la formula: infatti, BC sarà uguale alla radice quadrata di AB per HB.

Nota bene: gli stessi discorsi fatti fin qui valgono anche per l'altro cateto (AC).
In questo caso avremo:

• come proporzione AB:AC = AC:AH
  dove AH è la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa AB
• e come formula AC ² = AB · AH
  da cui, per trovare AC, si farà la radice quadrata di (AB · HB)

Proviamo con alcuni esercizi.

Problema 1

Data l'ipotenusa AB pari a 25 e la proiezione HB del cateto sull'ipotenusa pari a 16, quanto sarà il valore del cateto BC?

Bene, se vi ricordate il consiglio di prima, avendo come incognita il cateto BC, conviene utilizzare la formula anziché la proporzione. Quindi:

• Dati AB=25 e HB=16
• allora BC = √(AB·HB)
  cioè, uguale alla radice quadrata di AB per HB
• in numeri:
  BC = √(25·16)
  BC = √400
  BC = 20

Perciò, data l'ipotenusa uguale a 25 e la proiezione del cateto sull'ipotenusa pari a 16, allora il cateto sarà uguale a 20.

Problema 2

Mantenendo i dati precedenti troviamo il valore del cateto AC.

• Dati AB=25 e HB=16

ma a noi serve il segmento AH, che è facilmente calcolabile sottraendo dall'ipotenusa AB il segmento HB:

• AH = AB - HB
  AH = 25 - 16 = 9

A questo punto prendiamo la formula AC ² = AB · AH e calcoliamo AC facendo la radice quadrata di (AB · AH):

• AC = √(AB·AH)
  AC = √(25·9)
  AC = √(225) = 15

Il segmento AC misura dunque 15.

Problema 3

Dato il cateto BC pari a 36 e la proiezione del cateto sull'ipotenusa HB pari a 28,8, quale sarà il valore dell'ipotenusa AB?

Se riprendiamo la proporzione (AB:BC = BC:HB) e sostituiamo i valori dati (noti) otteniamo che:

• AB:36 = 36:28,8
  cioè, AB sta a 36 come 36 sta a 28,8.

quindi, per trovare AB dobbiamo moltiplicare 36 per 36 e dividere tutto per 28,8

• AB = 36 ² / 28,28
  AB = 1296 / 28,28 = 45

Se il problema chiedesse di trovare anche il segmento AH (la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa AB), basterà calcolare in questo modo: AH = AB - HB = 45 - 28,8 = 16,2.

Speriamo abbiate capito qualcosa di più. Nel caso di dubbi, il consiglio è quello di rileggere il testo qui sopra e svolgere gli esercizi senza guardare la soluzione, oppure inventare dei dati per poter risolvere altri esercizi.

Dopodiché, potete in ogni caso lasciare un commento qui sotto ponendo le vostre domande. Inserite anche il testo di qualche problema che non riuscite a capire.

Nel prossimo capitolo, il 2° Teorema di Euclide.