04/02/16

Algebra: proprietà numeri relativi, regole fondamentali delle operazioni

Dopo aver capito cosa sia l'algebra, passiamo ora ad un livello successivo. Cerchiamo di comprendere le proprietà, le regole fondamentali delle operazioni con numeri relativi (positivi e negativi) e lettere.

Le abbiamo già viste in aritmetica (leggi proprietà operazioni matematiche), quando però avevamo a che fare solo con numeri naturali (non negativi.
In questa pagina cerchiamo di fare esempi con numeri relativi, provando anche la sostituzione con le lettere (un modo per abituarsi piano piano alla vista di "a", "b", "c"... al posto di "1", "2", "3", "4"...).

Eccole qui:
  1. Proprietà commutativa dell'addizione
    a + b = b + a
  2. Proprietà commutativa della moltiplicazione
    ab = ba (il simbolo di moltiplicazione è sottinteso, è come scrivere a·b = b·a)
  3. Proprietà associativa dell'addizione
    a + b + c + d = (b + d) + a + c
  4. Proprietà associativa della moltiplicazione
    a·b·c·d = (b·d)·a·c
  5. Proprietà distributiva della moltiplicazione
    (b + c + d)·a = ab + ac + ad
  6. Proprietà distributiva della divisione
    (b + c + d)/a = b/a + c/a + d/a (il simbolo / sta per "diviso" o "fratto", b/a è come b:a)
Sono regole molto importanti che stanno alla base dell'algebra. Serviranno spesso, soprattutto quando si dovranno risolvere espressioni ed equazioni complesse.

Addizione fra numeri relativi
Ogni numero ha un segno (positivo o negativo). Ad esempio, il 3 o il 4, in realtà, trovandoci nell'insieme dei numeri relativi, sono (+3) e (+4). 

Le operazioni, come la somma o la sottrazione, saranno perciò pensate in questo modo:
  • (+3) + (+1) + (4) = (3 + 1 + 4) = +8
  • (-5) + (-1) + (-7) = - (5 + 1 + 7) = -13
In algebra, però, si può anche scrivere solo il segno del numero, in questo modo (prendendo i due esempi di prima):
  • +3 +1 +4 = +8
  • -5 -1 -7 = -13
Inoltre, il primo addendo (o il risultato), se ha segno positivo (+) si può anche evitare di metterlo, quindi:
  • 3 +1 +4 = 8
Se dovessimo avere una somma del genere:
  • -30 + 20 - 15
potremmo procedere un passo alla volta, calcolando i primi due e poi il risultato con il terzo.
Oppure potremmo semplificare, prendendo i numeri con segno uguale. Nell'esempio, possiamo prendere il -30 e il -20, e scrivere il tutto in questo modo:
  • -(30+15) +20 = -(45) +20 = -45 +20 = -25
Raggruppare i numeri con lo stesso segno e metterli dentro una parentesi (lasciando fuori il segno) può aiutare nei calcoli più difficili, e con le lettere al posto dei numeri.

Sottrazione fra numeri relativi
Abbiamo un primo dato che viene detto "minuendo" e un secondo detto "sottraendo", il risultato si chiama "differenza".

Possiamo trovarci davanti a diversi tipi di sottrazione:
  1. (+) - (+)
  2. (+) - (-)
  3. (-) - (+)
  4. (-) - (-)
    Vediamo qualche esempio di differenza, seguendo lo schema di segni appena descritto qui sopra:
    1. (+10) - (+4) = +6
    2. (+8) - (-2) = +10 (perché il -2 con un altro "-" davanti diventa +2)
    3. (-4) - (+4) = -8 (perché sarebbe: -4 -4)
    4. (-5) -(-2) = -3 (il -2 con un altro "-" diventa +2)
    Quindi, se ad un numero dobbiamo sottrarre un numero positivo si calcola la normale differenza.
    Invece, se ad un numero dobbiamo sottrarre un numero negativo (caso dei due segni negativi vicini), lo si somma (vedi caso 2 e 4 sopra).
    Due segni negativi consecutivi si trasformano in un segno positivo (- - = + )
    Es: 10 - (-5) = 10 + 5 = 15
    • Il + con il (-) diventa -
    • Il - con il (-) diventa +
    • Il + con il (+) rimane +

    Moltiplicazione tra numeri relativi
    Spesso, al posto del segno "X" che indica una moltiplicazione, si usa il simbolo "·", cioè un puntino centrale tra scritto tra i due fattori.

    Perciò, invece di scrivere 5 X 3, scriveremo 5·3.
    Invece di scrivere +5 X (-2), scriveremo +5·(-2)

    Questo passaggio sarà molto utile in algebra, quando avremo a che fare con le lettere, come la "x", che altrimenti si confonderebbe con il segno della moltiplicazione.

    Riprendiamo i 4 casi di prima e risolviamo le moltiplicazioni:
    1. (+10) · (+4) = +40
    2. (+8) · (-2) = -16 (negativo perché "+" moltiplicato "-" dà "-")
    3. (-4) · (+4) = -16 (idem come sopra)
    4. (-5) · (-2) = +10 (positivo perché "-" moltiplicato "-" dà "+")
    In caso di moltiplicazioni di più numeri relativi, come in questo esempio:
    • (+2) · (-3) · (+5)
    Si calcola il prodotto del primo fattore con il secondo e poi il risultato lo si moltiplica per il terzo:
    • (+2) · (-3) · (+5) = (-6) · (+5) = -30
    Proviamo ad inserire delle lettere in una moltiplicazione, giusto per prendere confidenza:
    • (a + b + c + d) · 5 =
      = 5a + 5b +5c +5d
    Come se avessimo sostituito ogni numero con una lettera diversa.

    Nel caso di moltiplicazione tra due somme, 
    • ad esempio: (5+3)·(4+2)
    possiamo, grazie alla proprietà distributiva, moltiplicare ogni termine di una somma per ogni termine dell'altra somma, cioè: il 5 con il 4 e con il 2, poi il 3 con il e con il 2:
    • 5·4 + 5·2 + 3·4 + 3·2 =
      =20 + 10 + 12 + 6 =
      =48
    Sostituendo con le lettere, ad esempio a=5, b=3, c=4, d=2
    • (a+b)·(c+d)=
      ac + ad + bc + bd
    Divisione tra numeri relativi
    Anche per la divisione vale il fatto dei due segni negativi che diventano un segno positivo
    • (-10) : (-5) = +2
      Infatti, operazione inversa, +2 moltiplicato per -5 dà -10
    Un'altra regola da ricordare è che la divisione di due numeri uguali dà come risultato "1"
    • (-10) : (-10) = +1 
    • Ponendo (a = -10), abbiamo
      (-a) : (-a) = +1
    Nelle divisioni ci sono alcune regole importanti:
    • Se moltiplico o divido dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da zero, il risultato non cambia. Esempio:
      (-10) : (-5) = +2
      se moltiplico i due termini per 4, ho:
      (-10·4) : (-5·4) = (-40) : (-20) = +2 (cioè, lo stesso risultato di prima)
    • Se ho un prodotto tra più numeri e voglio dividere il tutto per un altro numero, basterà dividere anche solo uno dei fattori. Esempio:
      (10·4·6) : 5
      posso dividere per 5 solo il 10 ed ho:
      (10: 5) · (4·6) =
      (2) · (4·6) = 2·4·6 = 8·6 = 48
      In questo modo è più facile fare i calcoli, si semplifica il 10 con il 5, altrimenti avremmo dovuto moltiplicare 10 per 4 per 6, che fa 240.
    • Invece, se ho una somma tra più numeri e voglio dividere il tutto per un altro numero, devo dividere ciascun termine. Esempio:
      (10+4-6) : 5 =
      (10:5) + (4:5) - (6:5)*
    *Al posto del simbolo ":" possiamo scrivere la barra della frazione "/":
    • (10/5) + (4/5) - (6/5)
      il 10 lo possiamo semplificare, perché diviso 5 dà 2, quindi avremo:
      2 + (4/5) - (6/5)