22/02/16

Bisettrice di un angolo, cos'è e come si costruisce?

Torniamo a parlare della geometria del piano, dando uno sguardo agli angoli e ad una loro caratteristica: la bisettrice.

Ma prima, per rendere più semplice la spiegazione, cerchiamo di capire cosa sia un angolo.

Anche senza aver studiato, tutti noi sappiamo riconoscere un angolo. Ad esempio, nella stanza in cui ci troviamo, dovremmo averne quattro (se la camera ha quattro lati). Nella nostra casa, gli angoli sono i punti in cui si incontrano due muri, due pareti.

Allo stesso modo, in geometria, l'angolo è il punto di incontro di due linee, segmenti o semirette.
Ad esempio, nella figura "quadrato" troviamo quattro angoli retti di 90°.
Nel triangolo, invece, sono tre gli angoli e possono essere tutti uguali, della stessa ampiezza, e cioè di 60°, oppure tutti diversi (se vuoi puoi leggere la nostra pagina sul triangolo).

Definizione di angolo
Date due semirette con la stessa origine, le due parti di piano che esse dividono sono dette "angoli".

Angoli in un piano

Come potete vedere in figura, ci sono due angoli, uno più grande, più ampio (nella parte di piano celeste) e uno più piccolo (piano blu).

Ora che abbiamo ripassato velocemente l'argomento di base, torniamo al nostro problema.

Cos'è la bisettrice di un angolo e come si costruisce?

Definizione di bisettrice
La bisettrice di un angolo è la semiretta che parte dal vertice (dall'origine "O") e divide l'angolo in due parti uguali, formando due angoli congruenti.

Bisettrice di un angolo

In pratica, la bisettrice divide l'angolo in due angoli completamente uguali, identici (congruenti).

Bisettrice, angoli congruenti

In ogni angolo può esistere una sola bisettrice (non ce ne possono essere altre).

Esempio, esercizio
Se il nostro angolo è di 90° e vogliamo sapere di quanti gradi saranno i due angoli formati dalla bisettrice, come facciamo a fare il calcolo?

In realtà è molto semplice, facilissimo. Sapendo che la bisettrice divide l'angolo in due angoli uguali, basterà dividere l'ampiezza per due:
  • 90° : 2 = 45°
I due angoli formati dalla bisettrice saranno, ognuno, di 45°.

Al contrario, conoscendo l'ampiezza di uno dei due angoli congruenti, possiamo conoscere le ampiezze dell'altro angolo congruente e dell'angolo maggiore (quello diviso dalla bisettrice).

Dato un angolo congruente di 30°, sappiamo già che questo è uguale all'altro, quindi 30°; mentre, per trovare l'angolo principale, basterà sommare i due angoli congruenti o moltiplicare per due:
  • 30° + 30° = 60°
  • 30° x 2 = 60°
Infatti, l'angolo di 60°, diviso in due dalla bisettrice, forma due angoli congruenti di 30° ciascuno.

Come si fa la bisettrice di un angolo?
Per andare avanti abbiamo bisogno di un compasso e di un righello.

Prendiamo un qualsiasi angolo e troviamo i punti per disegnare la nostra bisettrice:

Puntando il compasso al vertice (origine O)
tracciamo una curva, un arco
(a qualsiasi distanza, a piacere, come quella blu in figura)
 che intersechi le due semirette,
trovando i punti A e B

Ora, puntiamo il compasso sul punto A e tracciamo una curva,
un arco come quello rosso in figura (distanza a piacere).
Poi, puntiamo il compasso sul punto B e
disegniamo un'altra curva (con la stessa distanza di prima).
Le due curve, che devono incrociarsi, incontrarsi,
ci permettono di trovare il punto X

Unendo con una linea il vertice O e il punto d'incontro X
otteniamo una semiretta che divide l'angolo in due angoli uguali,
questa è la nostra bisettrice

Sembra complicato all'inizio, ma in realtà è molto facile, basta tracciare tre archi con il compasso, partendo dal vertice O e poi passando ai punti A e B. Con un righello si traccia poi la bisettrice che passa per i due punti O e X.