30/03/16

Trigonometria piana - I segmenti e il loro valore algebrico

Questa volta ci addentriamo in una materia particolare, legata alla matematica, cioè la trigonometria. Partiamo da quella "piana", cercando di capire l'orientamento delle rette, i segmenti e il valore algebrico che assumono.

Un punto può percorrere una retta, che chiameremo "r", in un senso o nell'altro.

I due sensi, opposti, vengono detti "positivo" o "negativo" a seconda della direzione.

Una retta viene detta "orientata" quando il suo verso risulta positivo.


Prendendo due punti sulla stessa retta otteniamo un segmento. Anche il segmento è detto "orientato", se ha un verso, che va da un punto di partenza (detto "origine") ad un punto di arrivo (detto "termine"). Spesso, i due punti vengono definiti semplicemente "estremi".



I segmenti orientati sono anche conosciuti con il nome di "vettori".

Al segmento orientato AB (positivo se segue il verso della retta r, negativo se invece va al contrario) corrisponde un valore algebrico (cioè un numero con segno positivo o negativo, in pratica una misura del nostro tratto che va da A a B). Si rappresenta in questo modo:


Nel caso della retta precedente (figura in alto) sappiamo che AB è positivo. Invece, BA risulta negativo poiché la direzione è inversa rispetto al verso della retta r (BA va da B ad A, quindi verso sinistra, mentre la retta r va verso destra, come indica la freccia).

Alcune regole:
  • AB = 0
    se i due estremi (origine e termine) coincidono, si trovano sullo stesso punto
  • AB = -BA
    se i punti A e B si trovano su una retta orientata (come quella in figura in alto). Poniamo, ad esempio che il segmento AB misuri 4, allora il segmento inverso, BA, sarà uguale a -4
  • Se AB = -BA
    allora AB + BA = 0
Cosa succede con tre punti su una retta orientata (A, B, C)?
In questo caso AB + BC + CA = 0.


I due segmenti AB e BC, insieme, sono uguali al segmento CA. E dato che quest'ultimo va da C ad A, cioè nel verso contrario rispetto alla retta r, risulta essere negativo, con il segno "-".

Esempio: Se (AB = 3) e (BC= 4), allora (CA= -7).

Se invece avessimo preso in considerazione il segmento AC (e non CA), questo sarebbe stato positivo, pari a +7. 

Ascisse dei punti di una retta
Ogni retta orientata può essere rappresentata come una serie di numeri relativi: ad ogni suo punto equivale un numero. Allo stesso modo, ad ogni numero relativo equivale un punto sulla retta orientata.

Questa regola viene detta "corrispondenza biunivoca" (da numeri a punti e da punti a numeri).

Avendo una retta orientata "r" (da sinistra verso destra), decidendo quale punto sia l'origine "O", possiamo scegliere dei punti alla sinistra di O, che saranno di valore negativo (ad esempio, possiamo chiamare questo punto "P", e alla destra di O, che saranno di valore positivo (ad esempio "S").



Il segmento OP è negativo, perché la sua direzione è inversa rispetto a "r", mentre OS è positivo (stesso verso di "r").

Quindi, per esempio, potremmo avere OP = -5 e OS = 6. Questi numeri vengono detti ascissa del punto P e ascissa del punto S.

L'origine O (detta anche origine delle ascisse), in pratica, è il punto di partenza (il nostro punto zero), e la direzione determina il segno (+ o -) del segmento.