Cilindro, geometria: come calcolare volume e superficie

Dopo aver imparato definizioni e formule delle più importanti figure di geometria piana (come ad esempio il rettangolo, il triangolo, il cerchio...), passiamo ora ad un livello più difficile, cercando di capire cosa sia un Cilindro e come calcolarne il volume o la superficie.

Entriamo nella "geometria solida", perché il cilindro è appunto un solido.

Per definizione un cilindro si forma con la rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.

Immaginate di avere un rettangolo, ad esempio un foglio A4, quelli che si usano anche per la stampante. Provate ad appoggiarlo sul tavolo, sulla scrivania, in verticale. Ora, tenendo fermo uno dei suoi lati verticali, fate ruotare l'altro lato di 360° (cioè un giro completo).

Un disegno vi aiuterà a capire meglio di cosa stiamo parlando:

Geometria solida - Definizione di Cilindro
Come potete vedere, il rettangolo blu corrisponde al nostro foglio A4. La sua rotazione forma un cilindro (come un tubo, una specie di bicchiere).

Alla base abbiamo un cerchio, così come lungo tutto il cilindro. Il primo cerchio in basso e l'ultimo in alto sono ovviamente uguali, della stessa misura. Infatti, potremmo pensare al cilindro anche come ad una pila di cerchi.
Per capire meglio, provate a prendere una decina di CD (del computer o musicali), poi metteteli uno sopra l'altro in modo che stiano perfettamente in linea. Alla fine vedrete proprio la forma di un cilindro.

Come si calcola il volume del cilindro? E la sua superficie?

Abbiamo visto che alla base c'è un cerchio (vi ricordate l'area del cerchio? Leggi qui), quindi avremo anche un "raggio" r. Poi, nella figura vediamo un rettangolo che ruota attorno ad un lato (quello al centro); bene, questo lato è l'altezza (h) del cilindro. Guarda qui sotto:

Geometria solida - raggio e altezza
Conoscendo il raggio r e l'altezza h, possiamo usare delle formule per calcolare il volume e la superficie della nostra figura solida.

Formule del cilindro
Iniziamo dalla base
  • Superficie di base (Sb)
    in pratica, l'area del cerchio che si trova proprio alla base del cilindro
    Sb = πr²
    cioè, Pi greco moltiplicato per il raggio al quadrato
  • Superficie laterale (Sl)
    l'area laterale, tutta la superficie che "ricopre" il cilindro di lato
    Sl = 2 πrh
    cioè, il perimetro del cerchio alla base (2πr) moltiplicato per l'altezza (h) del cilindro
  • Superficie totale (St)
    l'area esterna di tutto il cilindro, comprese le basi
    St = Sl + 2Sb
    cioè, la superficie laterale sommata alle superfici dei due cerchi (quello in basso e quello in alto), quindi il doppio della superficie di base (2Sb)
  • Volume del cilindro (V)
    non solo la superficie esterna ma tutto il volume del solido, compresa l'area interna
    V =  πr²h
    oppure si potrebbe scrivere come V = (Sb) · h
    la Superficie di base (Sb) moltiplicata per l'altezza (h)
NOTA BENE 
Il simbolo "·", un puntino a mezza altezza, viene di solito usato al posto del simbolo "x". Hanno lo stesso significato, la moltiplicazione. Si preferisce il primo perché il secondo si confonde con la lettera "x" molto utilizzata in matematica, algebra, nel calcolo letterale e nelle equazioni, ad esempio.
Non sono poi così complicate, soprattutto se si pensa al cerchio come base.

Facciamo qualche esercizio, esempio

1) Dato un cilindro con raggio r uguale a 10 e altezza h uguale a 5, calcolare la Superficie totale e il volume. Dalle formule abbiamo:

  • Superficie totale
    St = Sl + 2Sb
    Sapendo che Sl=2πrh e Sb=πr², abbiamo:
    St = 2πrh + 2πr²
    Sostituendo, ricordando che π = 3,14
    St = 2·(3,14)·(10)·(5) + 2·(3,14)·(10)²
    St = 6,28·50 + 6,28·100
    St = 314 + 628 = 942
  • Volume
    V = πr²h
    sostituendo,
    V = (3,14)·(10)²·(5)
    V = 3,14 · 500 = 1570
2) Con diametro della base pari a 16 e altezza uguale a 7, calcolare il volume.

Sappiamo che il diametro corrisponde al doppio del raggio, quindi per trovare "r", basterà dividere il diametro per 2.
Raggio r = (diametro) / 2 = 16 / 2 = 8

Ora che abbiamo sia r che h:
  • Volume
    V = πr²h
    sostituendo,
    V = (3,14)·(8)²·(7)
    V = 3,14 · 64 · 7 = 1406,72
Prima di passare al prossimo esercizio, scopriamo anche le formule inverse del cilindro:
  • r = √(V / πh)
    il raggio è uguale alla radice quadrata del (volume) fratto (Pi greco moltiplicato per l'altezza)
  • h = V / (πr²)
    l'altezza è uguale al (volume) fratto (Pi greco moltiplicato per il quadrato del raggio)
3) Esercizio con formule inverse
Data l'altezza (h=10) e il volume (V=1400), calcolare il raggio r
  • r = √(V / πh)
    dato che πh = 3,14·10, cioè 31,4
    r = √(1400 / 31,4)
    = √44,58
    = 6,67
4) Esercizio con formule inverse
Dato il raggio (r = 5) e il volume (V=1000), calcolare l'altezza
  • h = V / (πr²)
    il raggio al quadrato è pari a 25 (cioè 5·5)
    h = 1000 / (3,14·25)
    = 1000 / 78,5
    = 12,74
Provate altri esercizi, cambiando i dati.