Confronto tra frazioni, spiegazione ed esercizi (matematica)

Abbiamo già visto le frazioni (leggi a fine testo, in basso, "Cosa sono, come si semplificano" e le "Frazioni equivalenti").

Oggi ci occupiamo del rapporto che c'è tra una frazione e l'altra, facciamo un confronto per capire quale sia più grande (maggior) e quale più piccola (minore).

Ricordando che la frazione non è altro che il valore di una porzione, come ad esempio la torta (10 fette, di cui 6 mangiate, cioè 6/10 che si legge "sei decimi"; ne avanzano 4, cioè 4/10 che si legge "quattro decimi"), risulterà abbastanza facile trovare le differenze.

Iniziamo con il caso più semplice

Confronto di frazioni con denominatore uguale


Qui è facilissimo, perché, se il denominatore (numero che si trova sotto la linea di frazione) è lo stesso, allora basterà confrontare solo il numeratore (numero che si trova sopra la barra di frazione).


Proviamo a verificare due frazioni semplici: 2/5 e 4/5

Come potete subito notare hanno lo stesso denominatore, ossia "5".
A questo punto possiamo confrontare direttamente i due numeratori, cioè "2" e "4".
Dato che 2 è minore di 4, ne consegue che

  • 2/5 < 4/5
La prima frazione è più piccola della seconda, e lo si può vedere anche dal disegno qui sotto:

Confronto di frazioni con uguale denominatore

I 2/5 ("due quinti") sono rappresentati dai due blocchi blu, su cinque totali.
Mentre i 4/5 ("quattro quinti") sono rappresentati dai quattro blocchi verdi, su cinque.

La quantità di spazio coperta dai verdi è maggiore di quella coperta dai blu, per questo motivo la prima frazione (2/5) è più piccola dell'altra (4/5).

Potete provare a fare molti altri esempi, con frazioni di uguale denominatore.

Passiamo ora ad un altro livello.

Confronto di frazioni con numeratore uguale


In questo caso abbiamo uno stesso numeratore e un diverso denominatore.
Per esempio, rientrano in questa categoria, le frazioni 1/4 ("un quarto") e 1/6 ("un sesto").

Al contrario di prima, qui risulta essere più grande la frazione con denominatore più piccolo.
Quindi, 1/4 è maggiore di 1/6.

Graficamente,

Confronto di frazioni con uguale numeratore

Il quadrato blu di 1/4 è visibilmente più grande del quadrato verde di 1/6.

Perciò, se due frazioni hanno lo stesso numeratore, quella maggiore sarà la frazione con numeratore più piccolo. Basta ragionare al contrario.

Veniamo adesso al caso più difficile.

Confronto di frazioni con numeratore e denominatore diversi


Infine, ci occupiamo del confronto meno semplice.
Stiamo parlando del caso in cui abbiamo due frazioni, con numeratore e denominatore diversi.
Come faremo a capire quale sarà più grande quale più piccola?

Ad esempio, osserviamo le frazioni

  • 1/2 ("un mezzo")
  • 2/3 ("due terzi")
L'unico modo, oltre alla rappresentazione grafica, per fare un confronto è quello del calcolo del minimo comune denominatore.

Cosa significa?
Vuol dire che dobbiamo trasformare le due frazioni, in modo tale da ottenere due nuove frazioni che avranno lo stesso denominatore.

Non è difficile.

Nel caso precedente (1/2 e 2/3) abbiamo come denominatori il "2" e il "3".

Per trovare il minimo comune denominatore, dobbiamo cercare un numero che sia divisibile per tutti e due. Ovviamente sarà un numero maggiore dei due denominatori.

Si parte dal più grande dei due, in questo caso il "3".

Si raddoppia (3x2) e si ottiene un bel 6. 
A questo punto verifichiamo se il 6 è divisibile per l'altro denominatore, il "2", e in effetti, sì, è divisibile, perché esiste la divisione, infatti 6:3= 2.

Se non fosse stato così, avremmo dovuto continuare a cercare e al "6" avremmo sommato un'altra volta il "3", ottenendo un "9" e ripetendo la verifica con il secondo denominatore.

Ma siamo stati fortunati, e quindi il nostro minimo comune denominatore è il 6.

Ovviamente, cambiando il denominatore delle nostre frazioni, cambierà anche il numeratore. Basterà dividere il "6" per ciascun denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore:
  • 1° frazione (1/2)
    facciamo 6 diviso 2 e otteniamo un 3, che, moltiplicato per 1, dà sempre 3, il nostro nuovo numeratore
  • 2° frazione (2/3)
    facciamo 6 diviso 3 e otteniamo un 2, che, moltiplicato per 2, dà 4, l'altro nostro nuovo numeratore
Quindi
  • 1/2 diventa 3/6
  • 2/3 diventa 4/6
Ora possiamo fare il confronto tra le due frazioni. 
Per capire quale sia la maggiore, basterà rivedere il primo caso che abbiamo trattato in questa pagina (leggi sopra), ossia quando le due frazioni hanno lo stesso denominatore.

Abbiamo 3/6 e 4/6, il primo numeratore (3) è più piccolo del secondo (4), quindi la prima frazione è minore della seconda.
  • 3/6 < 4/6
  • quindi, tornando all'inizio, anche 1/2 < 2/3
E come possiamo verificare dall'immagine:

Confronto di frazioni con diversi numeratori e denominatori

Nella prima riga abbiamo prima 1/2 e poi, dopo la trasformazione, 3/6 (in pratica è la stessa frazione, lo si vede dallo spazio occupato dai blocchi blu).

Nella seconda riga, invece, 2/3 e poi 4/6, che coprono lo stesso spazio, sono quindi uguali.

Ora, confrontiamo le due frazioni.
Sia nel primo caso (1/2 blocchi blu e 2/3 blocchi verdi), che nel secondo caso (3/6 blocchi blu e 4/6 blocchi verdi), ci accorgiamo subito che lo spazio ricoperto dal verde è maggiore di quello coperto dal blu.

Quindi, come già calcolato prima,
  • 1/2 < 2/3
  • così come 3/6 < 4/6
Facciamo un altro passo in avanti e invertiamo l'ordine delle frazioni:
  • 2/3 > 1/2
  • 4/6 > 3/6
Se un mezzo è minore di due terzi, allora due terzi è maggiore di un mezzo.
Se tre sesti è minore di quattro sesti, allora quattro sesti è maggiore di tre sesti.

Cambiando l'ordine delle frazioni, cambia anche il verso del simbolo, che da minore ("<") diventa maggiore (">").