Pubblicato il 17/09/15e aggiornato il

Disequazioni, cosa sono e come si risolvono? Spiegazione semplice ed esercizi

Torniamo a fare un po' di matematica. Per essere più precisi, dovendo trattare anche lettere (ad esempio la "x") oltre ai numeri, entriamo nel mondo dell'algebra.

Abbiamo già visto come risolvere le espressioni aritmetiche e le equazioni di primo grado (segui i collegamenti per maggiori dettagli sui due argomenti); oggi passiamo alle disequazioni, le quali non sono altro che una disuguaglianza tra espressioni diverse. Ecco una semplice spiegazione.

Leggere la pagina relativa alle equazioni (vedi qui sopra) potrebbe rivelarsi utile per capire questo nuovo capitolo.

Per dare subito un'idea, come esercizio, pensiamo ad un esempio concreto.

Date due espressioni (x+1) e (x-1), potremmo avere una disequazione di questo tipo:

(x+1) > (x-1)

Vedete il simbolo che separa le due espressioni? Si chiama "maggiore".
Questo significa che il valore (risultato) di x+1 sarà maggiore del valore (risultato) di x-1.
Infatti, ponendo x=2, avremo (2+1) > (2-1), cioè 3>1 (e infatti tre è maggiore di uno).

Stesso discorso vale per il simbolo < ("minore"). Invertendo le due espressioni:

(x-1) < (x+1)

Il valore della prima espressione è minore del valore della seconda. Anche qui, ponendo ad esempio x=1, avremo che (1-1) < (1+1), cioè 0<2 (e infatti zero è minore di due).

Quelle descritte sono due disequazioni.
L'obiettivo della disequazione è calcolare i valori delle incognite (ad esempio il valore di "x"), in modo tale da verificare la disuguaglianza.

Se semplificando una disequazione otteniamo (x > 2), allora vuol dire che x non potrà essere "1" o "0", oppure "-2", ma potrà essere "3", "10", "1000", cioè un numero maggiore di 2.

Proprietà delle disequazioni

Avendo i due polinomi A(x) e B(x), le espressioni:
  • A(x) < B(x)
  • A(x) > B(x)
sono dette disequazioni razionali intere.Queste prevedono alcuni principi:

supponiamo che A(x) sia uguale a (x-1) e B(x) a (x+1)
  • Aggiungendo o togliendo ad entrambe le espressioni (o polinomi) uno stesso numero, un identico polinomio, si ha una disequazione equivalente; questo perché:

    se ad (x-1) < (x+1)

    aggiungiamo il numero 10 sia a destra che a sinistra, otteniamo

    (x-1) + 10 < (x+1) + 10

    e, in fase di risoluzione, portando il 10 dall'altra parte del "<", questo cambia di segno, diventando negativo; di conseguenza, il (+10 -10) equivale a zero, torniamo quindi alla disequazione di partenza. Infatti:

    (x-1) < (x+1) + 10 + 10
    (x-1) < (x+1)
    x-1 < x+1
    x-1 < x+1
    portando le incognite x dallo stesso lato e i numeri dall'altro, abbiamo
    x-x < 1+1
    0 < 2 (risultato finale)
  • Stesso discorso moltiplicando o dividendo per un numero:
    [10 · (x-1)] < [10 · (x+1)]
    la disequazione è equivalente, poiché in fase di risoluzione, il 10 lo eliminiamo.
  • Se abbiamo una sola incognita, parliamo di disequazione numerica. Esempio: (x < 2)
  • Mentre, con altre incognite (ad esempio "x" e "y") parliamo di disequazione letterale. Esempio: (x+y > 3).
  • La disequazione è intera se, in presenza di frazioni, l'incognita si trova solo al numeratore (sopra la barra di frazione). Esempio: (x/2 > 1).
  • La disequazione è fratta se, in presenza di frazioni, l'incognita si trova al denominatore (sotto la barra di frazione). Esempio: (2/x < 1).
  • Oltre a ">" (maggiore) e "<" (minore) potremmo trovare disequazioni con i simboli "≤" (minore uguale) oppure "≥" (maggiore uguale). In questi casi cambia solo che, oltre al maggiore e al minore, vale anche l'uguaglianza. Esempio: con (x ≥ 2), il valore di x potrebbe anche essere uguale a due.
Condizione di esistenza
La disequazione, per esistere, deve avere significato, deve potersi calcolare. Pensiamo ad una disequazione fratta: 5/(x+2) > 3
La condizione di esistenza è che il denominatore della frazione sia diverso da zero, cioè (x+2) ≠ 0. Perché non esistono frazioni con denominatore nullo. Quindi, (x ≠ -2). Questa è la condizione di esistenza, affinché la disequazione sia valida.

Altri esercizi
  • 3x - 9 > 2x
    3x -2x > 9
    x > 9
  • 4x - 3² < -(3 · 2)x - 2²·(8-6)
    4x - 9 < -6x - 4·(2)
    4x - 9 < -6x - 8
    4x + 6x < -8 + 9
    10x < 1
    x < 1/10

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