Matematica, come si calcolano le potenze? Proprietà e casi particolari

La matematica comprende un'infinità di argomenti che vanno dal più semplice al più complesso. Per la sua vastità, si è sempre cercato di semplificare al massimo i calcoli, le formule, le dimostrazioni, ecc...

Questo vale anche per le operazioni basilari, come la somma, la moltiplicazione. Ad esempio, nel capitolo della "Moltiplicazioni a colonna", abbiamo visto come rendere semplici le somme di molti numeri: 3+3+3+3+3 non è altro che 3x5, scritto in maniera più semplice, senza sprecare troppo inchiostro o spazio su uno schermo digitale.

Ma cosa possiamo fare per semplificare operazioni di questo tipo: 3x3x3x3x3 ? Anche qui c'è il "trucchetto"? Ebbene sì, entrano in gioco le potenze. Ecco cosa sono.

Quando abbiamo a che fare con moltiplicazioni in serie che riguardano la stessa base (qui sopra la base era il 3), possiamo abbreviare il tutto elevando a potenza il numero, la base in questione. Avete mai notato nei libri di matematica quei numerini scritti in piccolo, posizionati in alto, sulla destra di un altro numero scritto un po' più grande? Quelle sono le potenze, eccone qualche esempio:
Come vedete abbiamo un numero più grande che è la base e un numero più piccolo che è l'esponente.

In pratica la base è il numero che dovrà essere moltiplicato per se stesso tante volte quante quelle indicate dall'esponente.
Se la base è 2 e l'esponente è 3, significa che dobbiamo moltiplicare il 2, per se stesso, tre volte, cioè: 2 x 2 x 2 che dà come risultato 8. Non confondetevi, non fate 2x3 perché è sbagliato. Dovete moltiplicare solo la base per se stessa.
Proviamo a riprendere gli esempi di prima e risolviamoli come esercizio:
  • 2² = 2 x 2 = 4
  • 3² = 3 x 3 = 9
  • 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
  • 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

Non è poi così difficile, giusto?
  • Due alla seconda? Moltiplico due per due
  • Tre alla seconda? Tre per tre
  • Quattro alla terza? Quattro per quattro per quattro
  • Cinque alla terza? Cinque per cinque per cinque
E così via...
La base può essere anche un numero più grande, tipo 15 o 99 o di più; e lo stesso vale per l'esponente. Logicamente, più aumenta il valore dei due termini (base ed esponente) più complicato e lungo sarà il calcolo, fino al punto in cui solo una calcolatrice potrà aiutarci a risolvere.

E se volessimo calcolare l'esponente, conoscendo il risultato e la base?
Semplice, basterà dividere il risultato per la base, tante volte finché non avremo un numero uguale a "1".  Si capirà meglio con alcuni esempi:
  • 2 ̽ = 8
    qual è il valore dell'esponente x?
    si fa 8 diviso 2 che fa 4
    si fa 4 diviso 2 che fa 2
    si fa 2 diviso 2 che fa 1
    abbiamo fatto tre divisioni, quindi l'esponente è 3
    (2³ = 8)
  • 3 ̽ = 9
    9 / 3 = 3
    3 / 3 = 1
    due divisioni, quindi l'esponente x è uguale a 2
    (3² = 9)
  • 2 ̽ = 64
    64 / 2 = 32
    32 / 2 = 16
    16 / 2 = 8
    8 / 2 = 4
    4 / 2 = 2
    2 / 2 = 1
    abbiamo eseguito sei divisioni, quindi l'esponente x è uguale a 6 (due alla sesta è uguale a 64)



Regole, proprietà delle potenze

Il prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è uguale ad una potenza con quella base ed esponente pari alla somma di tutti gli esponenti.
  • a2·a3 = a2+3
    Nel caso in cui, in una moltiplicazione, la base sia la stessa, si può raggruppare il tutto tenendo la sola base e come esponenti la somma degli esponenti (quindi si sommano, non si moltiplicano)
    22·23
    si può scrivere 22+3, cioè 25, che fa 32
Il quoziente di potenze con la stessa base
Il quoziente di due potenze con la stessa base è uguale ad una potenza con quella base ed esponente pari alla differenza tra gli esponenti
  • a/ a2 = a3-2
    Nel caso in cui, in una divisione, la base sia la stessa, si può raggruppare il tutto tenendo la sola base e come esponenti la differenza tra gli esponenti (quindi si sottrae, non si divide)
    2/ 22
    si può scrivere 23-2, cioè 21, che fa 2.
La potenza di una potenza
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza con la stessa base e con esponente pari al prodotto dei due esponenti.
  • (a2)3 = a2·3 = a6
    La potenza di una potenza si risolve moltiplicando tra loro le due potenze, ad esempio:
    (22)3 = 22·3 = 2= 64
Il prodotto di potenze con uguale esponente
Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è uguale ad una potenza la cui base è il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Al contrario, la potenza di un prodotto di fattori è pari al prodotto dei singoli fattori elevati a quella potenza.
  • a²·b²·c² = (a·b·c)² 
    4²·3²·2² = (4·3·2)²
    Infatti, risolvendo le due parti separatamente:
    (4·3·2)² = (24)² = 576
    4²·3²·2² = 16·9·4 = 576
Il quoziente di potenze con uguale esponente
Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è uguale ad una potenza la cui base è pari al quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Allo stesso modo, la potenza di una frazione (divisione) è uguale alla divisione tra la potenza del dividendo e la potenza del divisore
  • a² / b² = (a / b)²
    10² / 2² = (10 / 2)²
    Infatti,
    (10 / 2)² = (5)² = 25
    10² / 2² = 100 / 4 = 25
Sono state create altre regole per rendere le potenze sempre valide e calcolabili.
  • a¹= a
    Se l'esponente è uguale a 1, non si devono fare moltiplicazioni, perché quell'1 è già preso in considerazione nella base. L'1 come esponente non si mette mai, è come se fosse sottinteso. In pratica potremmo anche dire che tutti i numeri che conosciamo sono elevati alla potenza "1". Questo "1" sarà utile quando si dovranno affrontare operazioni tra esponenti.
    Riassumendo, ponendo la lettera "a" come base della nostra potenza, avremo: a¹= a 
  • a°= 1
    Se l'esponente è uguale a 0, per definizione, il risultato della potenza sarà 1: qualsiasi base elevata a zero darà sempre 1 come risultato. Anche 1000 elevato a 0 è uguale a 1.
    Generalizzando, ponendo sempre "a" come base, avremo: a°= 1 se "a" è diverso da zero (a ≠ 0)

  • Zero elevato a zero, invece, non ha significato.
Se avete difficoltà a scrivere queste operazioni sul computer, perché non riuscite a trovare i simbolini delle potenze, potete scrivere, ad esempio, 5² in quest'altro modo 5^2 (il triangolino indica l'elevazione a potenza), ha lo stesso significato.