25/01/16

Quali sono i "numeri primi" e cosa sono? Come si calcolano?

Sicuramente ne avrete sentito parlare almeno una volta, se non a scuola in altri ambiti (ad esempio troviamo le due parole "numeri primi" nel titolo di un libro di qualche anno fa).

Restando nei confini della materia che stiamo trattando (la matematica), potreste aver saputo, giusto in questi giorni, della scoperta di un nuovo numero primo, il più grande tra tutti quelli individuati fino ad oggi.

Il traguardo è stato raggiunto, ovviamente, da un matematico, americano (del Missouri, Stati Uniti), di nome Curtis Cooper.

Ne ha trovato uno (anche se è stato un computer a calcolarlo, in circa 31 giorni di elaborazioni) formato da più di 22 milioni di cifre! Il precedente "numero dei record" aveva 5 milioni di cifre in meno.
Come premio, il signor Cooper, ha vinto 3.000 dollari.

Ma cosa sono i numeri primi? Come si riconoscono e a cosa servono?

In matematica viene detto "numero primo" quel numero che è divisibile solo per se stesso e per uno, considerando come risultati solo i numeri interi, senza "resto" e senza la virgola.
Ad esempio, il 3 è un numero primo perché è divisibile solo per 3 e per 1
(se dividiamo 3 per 2 abbiamo come risultato 1 con resto 1, oppure, in decimali, otteniamo 1,5; ma, come scritto prima, le divisioni con "resto", o i quozienti con la virgola, non ci interessano).

Il 4, invece, non è un numero primo. Infatti, oltre ad essere divisibile per 4 e per 1 è anche divisibile per 2.
I numeri che sono divisibili per altri numeri, oltre a se stessi e al numero uno, vengono detti "numeri composti".

Quali sono i numeri primi?

Partendo dall'inizio, dallo zero, e procedendo fino a 100, sappiamo con certezza che sono numeri primi, andando in ordine di grandezza:
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...
Man mano che si va avanti diventa sempre più difficile trovare un numero primo.

Per semplicità possiamo escludere tutti i numeri che sono già multipli di un numero primo. 
Ad esempio, tutti i multipli di 2 (cioè 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... eccetera) non sono numeri primi.
Lo stesso vale per il 5 (10, 15, 20, ... eccetera) o per il 13 (26, 39, 52, 65, 78, ... eccetera). 

Infatti, tutti i multipli di un numero primo sono divisibili per se stessi, per uno, ma anche per quel numero primo, quindi sono "composti" e non "primi". Il metodo che ci consente di togliere tutti i numeri multipli di un numero primo viene detto "Crivello di Eratostene" (Eratostene era un filosofo-matematico vissuto tra il 275 e il 194 a. C.).

In più, possiamo eliminare tutti i numeri pari, perché saranno sempre divisibili per due. Quindi i numeri primi (a parte il 2) sono tutti dispari.

Dato che non ci sono limiti ai numeri in generale, possiamo anche dire che non esiste un numero primo più grande di tutti, perché anche i numeri primi sono infiniti, illimitati. Quello scoperto dal signor Cooper è solo il più grande conosciuto, trovato finora, ma ne esistono altri e serviranno computer sempre più potenti per individuarne di nuovi.



Per conoscere i numeri primi più grandi si ricorre, di solito, a delle tavole, delle tabelle.

Come calcolare un numero primo

Se volete sapere se un numero sia primo oppure no potete calcolarlo da soli: basterà dividere tale numero per gli altri numeri primi, partendo dal più piccolo, quindi dal 2, poi il 3, il 5, il 7, l'11, e così via, finché non trovate come risultato un numero intero.

Continuate fino a quando il risultato (quoziente) non sia minore del divisore: se non trovate un numero divisibile, allora siete di fronte ad un numero primo.

Esempio: 2029 è un numero primo? Calcoliamo subito. 
  • Dividiamo per 2 e scopriamo che non è divisibile (2029 : 2 = 1014 con resto 1)
  • Proviamo con il 3, niente da fare (2029 : 3 = 676 con resto 1)
  • Nemmeno per 5 è divisibile (2029 : 5 = 405 con resto 4)
  • ...
  • Andando avanti, arriviamo al 43 (2029 : 43 = 47 con resto 8)
  • e poi, al numero primo 47: anche qui non è divisibile (2029 : 47 = 43 con resto 8)
Perché ci siamo fermati al numero 47 come divisore?
Perché, come scritto prima, dobbiamo fermarci quando il divisore risulta più grande del quoziente (risultato).
  • 2029 : 47 = 43 con il resto di 8
  • Dato che 47 > 43 non è necessario continuare, il 2029 è un numero primo.
Potrebbe interessarti anche la Scomposizione dei numeri composti in numeri primi.

A cosa servono i numeri primi?


Ci sono diversi utilizzi pratici di questi numeri. Ad esempio, pensando al mondo di oggi, pieno di tecnologia, dati personali, conti correnti, profili online (in internet), queste cifre risultano essere particolarmente utili per memorizzare codici, password, difficili da scoprire. Più il numero primo è grande, più al sicuro saranno i nostri dati, le nostre email, i nostri profili sul web, il nostro cellulare, ... eccetera.