27/04/20

Minimo comune multiplo, come si calcola? Esercizi svolti

Abbiamo già visto come si calcola il Massimo Comune Divisore; oggi facciamo un passo in avanti e cerchiamo di capire, attraverso una spiegazione semplice, il Minimo Comune Multiplo.

Dai nomi si dovrebbe più o meno intuire la funzione dei due tipi di calcolo matematico. Il massimo comune divisore è il più alto tra i divisori in comune, rispetto ai numeri dati. Mentre, il secondo, non è altro che il più piccolo tra tutti i multipli dei numeri dati.

In pratica il problema si presenta, solitamente, in questo modo: abbiamo una serie di numeri e viene richiesto di trovare il minimo comune multiplo (per comodità lo chiameremo mcm), ossia un numero, più grande, che sia divisibile per tutti i numeri dati.

Qualche esempio aiuterà a comprendere meglio il procedimento.

ESEMPIO 1
Come si fa a calcolare il mcm di 2 e 3?
Allora, 3 e 2 sono i numeri noti, dati, cioè rappresentano le informazioni in nostro possesso; da questi iniziamo il nostro ragionamento.

Il risultato deve essere di grandezza maggiore sia a 2 che a 3, cioè mcm >3 (basta questo perché 3 è già più grande di 2).

Quindi, ci viene utile partire proprio dal 3. Sarà più semplice e veloce trovare il mcm.
  • Iniziamo subito dal numero stesso: 3 è divisibile per 2? No.
  • Bene, passiamo al doppio di 3, cioè 6: è divisibile per 2? Sì! 
Caspita, l'abbiamo già trovato il nostro minimo comune multiplo; infatti, 6 è multiplo sia di 2 che di 3.

Un esempio facile, molto semplice, ma serve più che altro a capire il meccanismo, prima di passare a numeri di maggiore difficoltà. Proviamo a risolvere un altro problema.

ESEMPIO 2
Numeri dati: 4, 7
Come scritto prima, partiamo dal più grande, 7.
  • 7 è divisibile per 4? No
  • Raddoppiamo. 14 è divisibile per 4? No
  • Triplichiamo. 21 è divisibile per 4? No
  • Andiamo oltre. 28 è divisibile per 4? Sì
Quindi, il mcm di 4 e 7 è 28.

ESEMPIO 3
Numeri dati: 4, 5, 6
Come scritto prima, partiamo dal più grande, 6.
  • 6 è divisibile per 4? No, e neanche che per 5
  • Raddoppiamo. 12 è divisibile per 4? Si, ma non per 5... (non è ancora questa la soluzione)
  • Triplichiamo. 18 è divisibile per 4? No, neanche per 5
  • Andiamo oltre. 24 è divisibile per 4? Sì, ma non per 5
  • 30 è divisibile per 4? No, anche se lo è per 5
Proseguendo con la tabellina del 6 (36, 42, 48...) dovremmo arrivare fino a 60 per trovare il risultato, poiché 60 è divisibile per 4 (che dà 15), per 5 (che dà 12) e per 6 (che dà 10).

Come potete notare, aumentando il valore e la quantità dei numeri, il minimo comune multiplo tende ad "allontanarsi" sempre di più.

Questi sono esempi che non richiedono grandi calcoli.

Ma cosa si può fare per trovare velocemente il mcm quando i dati sono più complicati?

Minimo Comune Multiplo, calcolo con scomposizione in fattori primi


Dobbiamo scomporre i numeri nel modo più semplice possibile.

Per trasformare ogni numero in fattori primi lo si deve dividere per 2 finché si può e provare anche con tutti gli altri numeri primi, come 3, 5, 7, 11, 13, 17 e così via.

Quello che dobbiamo ottenere è una serie di fattori primi, cioè di numeri che, a loro volta, non sono divisibili per altri numeri.
  • Per scomporre il 6, dividiamo per 2 e abbiamo i fattori primi 3 e 2 (infatti 3 x 2 = 6)
  • Per scomporre il 12, dividiamo per 2 e abbiamo un 6, allora dividiamo ancora per 2 e abbiamo un 3, quindi: 2 x 2 x 3 = 2² x 3.
  • Per scomporre il 15, non possiamo dividere per 2, allora proviamo con 3 e abbiamo i fattori primi 3 e 5 (3 x 5 = 15)
  • Per scomporre il 50, dividiamo per 2 e abbiamo il 25, dividiamo per 5 e abbiamo un altro 5, quindi: 5 x 5 x 2 = 5² x 2 = 50
L'importante è ottenere una serie di numeri primi (se ti interessa, leggi anche Cosa sono i numeri primi?).

Se vi ritrovate tra i vostri risultati un 4 o un 8, non va bene, perché questi due numeri sono ancora divisibili e quindi possono essere ulteriormente scomposti.

Se non avete capito il procedimento rileggete e fate gli esercizi senza guardare. Se invece è tutto chiaro, passiamo a risolvere il mcm.

Torniamo all'ESEMPIO 3 di prima, con i numeri 4, 5, 6.
  • 4 = 2²
  • 5 = 5
  • 6 = 2 x 3
Prendendo tutti i numeri "base" una volta sola, scegliendo a parità di base quello con esponente maggiore, avremmo questa serie di numeri: 2² (dal 4), 5 (dal 5) e 3 (dal 6).

Come vedete, per quanto riguarda il 6, non abbiamo preso il 2, poiché abbiamo scelto il 2 con esponente maggiore, cioè quello del 4.

Moltiplicando questi numeri, abbiamo: 2² x 5 x 3 = 4 x 5 x 3 = 60

Che è la soluzione trovata prima, procedendo passo per passo.

Chiaro? No? Proviamo con altri esercizi, che sono il modo migliore per imparare bene.

ESEMPIO 4

Numeri dati: 8, 12, 16

Prima operazione, scomponiamo tutti i numeri.
  • 8  = 2³
  • 12 = 2² x 3
  • 16 = 24
Ora, come prima, scegliamo solo le basi con esponente maggiore: 24 e 3
  • 24 x 3 = 16 x 3 = 48
48 è il minimo comune multiplo di 8, 12, 16. Infatti è divisibile per tutti e tre i numeri dati.

ESEMPIO 5

Numeri dati: 7, 5, 21, 50
  • 7 = 7 (è già un numero primo)
  • 5 = 5 (idem)
  • 21 = 7 x 3
  • 50 = 5² x 2
I nostri fattori primi con esponente maggiore sono: 7, 5², 3, 2

Quindi,
  • 7 x 5² x 3 x 2 = 7 x 25 x 3 x 2 = 7 x 25 x 6 = 1050
1050 è il minimo comune multiplo dei numeri 7, 5, 21, 50.

Proviamo un metodo alternativo:

Calcolare il minimo comune multiplo con il Massimo Comun Divisore


Proprio così, possiamo arrivare al mcm calcolando prima il MCD. Ecco come funziona.

Iniziamo dalla regola:
Per trovare il mcm di due numeri, si trova prima il loro MCD, poi si divide uno di essi per il MCD ottenuto e si moltiplica il quoziente per l'altro numero.
ESEMPIO
Calcolare il mcm (96, 60)
  • Partiamo dal MCD che è uguale a 12
    (se non ricordi come si fa il Massimo Comun Divisore, a inizio pagina trovi il collegamento alla spiegazione
  • quindi dividiamo uno di essi (proviamo con il 96) per il MCD trovato (12)
    96:12 = 8
  • dopodiché moltiplichiamo 8 per l'altro numero dato, 60
    60x8 = 480
Perciò, mcm (96, 60) = 480

Avremmo avuto lo stesso risultato dividendo l'altro numero dato (60) per 12 e poi moltiplicando il risultato (5) per 96, cioè 480.

Definizione di minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo di due o più numeri interi a e b [m.c.m. (a, b)], è il più piccolo numero intero (e positivo) multiplo sia di a che di b.
Attenzione: se uno dei due numeri dati (a, b) è uguale a zero, allora il mcm = 0.

"Trucchi" per il calcolo del minimo comune multiplo
  • Il mcm di due numeri primi sarà uguale al loro prodotto
    Esempio: mcm (7,13) = 7x13 = 91
  • Il mcm di due numeri, dove uno dei due è divisibile per l'altro, sarà uguale al maggiore dei due.
    Esempio: mcm (24, 48) = 48
  • Per calcolare il mcm di numeri, alcuni dei quali sono divisibili per uno degli altri, si può procedere eliminando i divisori.
    Esempio: mcm (45, 60, 90, 12), si possono tralasciare il 12 e il 45 perché sono divisori, rispettivamente, di 60 e 90. Quindi basterà calcolare mcm (60, 90)
Alla fine, una volta compreso il procedimento, potrebbe anche essere divertente calcolare il mcm. Potrebbe, ovviamente... :-)

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