Perimetro e area del rombo. Come si calcolano? Esercizi

Nel nostro percorso all'interno del mondo della geometria piana abbiamo già visto le più importanti figure, tra le quali il quadrato, il triangolo e il cerchio (a fine testo trovi i collegamenti alle varie pagine). Oggi incontreremo un quadrilatero particolare, il rombo, del quale impareremo anche a calcolare il perimetro e l'area.

Iniziamo con le proprietà di questa figura.

Possiamo subito dire che è simile al quadrato.
Infatti, è formato da quattro lati, tutti uguali, cioè della stessa lunghezza.

La differenza tra il quadrato e il rombo riguarda l'inclinazione dei lati e, di conseguenza, l'almpiezza degli angoli (sono quattro) formati.

Sapete già che nel quadrato i quattro angoli sono tutti della stessa ampiezza, cioè 90 gradi (90°). Quindi, l'incrocio dei suoi lati formano quattro angoli retti.

Nel rombo, le cose cambiano un pochino. Cerchiamo di capire meglio, partendo da un disegno:

Geometria piana: figura rombo

Come potete vedere dalla figura qui sopra, il rombo è formato da quattro lati di uguale lunghezza (lettera a) e da quattro angoli indicati dalle lettere A, B, C, D.

Il segmento (lato) AB misura "a", così come BC misura "a", e ancora CD e AD.
AB = BC = CD = DA.
Se "a" fosse uguale a 4, ad esempio, allora tutti i lati del nostro rombo avrebbero una lunghezza pari a 4.

Gli angoli sono uguali a coppie. L'angolo in A ha la stessa ampiezza dell'angolo in C. Mentre, l'angolo in B ha la stessa ampiezza dell'angolo in D.

Gli angoli opposti, con stessa ampiezza, si chiamano "congruenti".

Ancora:
  • gli angoli in A e in C sono acuti, cioè minori di 90°
  • gli angoli in B e in D sono ottusi, cioè maggiori di 90°
Un'altro aspetto importante del rombo sono le diagonali, cioè i segmenti che si tracciano tra gli angoli opposti. Guarda la figura qui sotto:

Diagonali del rombo

Le due diagonali sono:
  • d1, che unisca i punti A e C
  • d2, che unisce i punti B e D
Esse sono perpendicolari tra loro. In pratica si incrociano nel punto centrale del rombo e in quel punto formano quattro angoli retti. Da notare, inoltre, che le diagonali dividono in quattro parti il rombo, cioè in quattro triangoli, di uguale forma e grandezza.

Ora abbiamo tutti i dati e le informazioni per calcolare perimetro e area del rombo.

Come calcolare il perimetro del rombo


Il calcolo del perimetro dei quadrilateri, e delle figure piane in generale, è molto semplice. Basta sommare la misura di tutti i lati. In questo caso, avendo il rombo quattro lati della stessa lunghezza, basterà moltiplicare un lato per 4.

Nella figura sopra abbiamo visto che il lato misura "a", quindi la formula per il perimetro è:
  • PERIMETRO DEL ROMBO = 4·a
Quattro per "a" (4 x a). Sarebbe la stessa cosa scrivere: (a + a + a + a), sommare quattro volte "a".

Esercizio 1. Se il lato del rombo misura 5, qual è il suo perimetro? 
Soluzione. La formula del perimetro è: (4 x a), quindi, dato che il nostro "a" (la lunghezza del lato) misura 5, avremo: (4 x 5) = 20.
Il perimetro è quindi 20.

Esercizio 2. Lato del rombo pari a 12, calcolare il perimetro.
Soluzione. Formula: (4 x a) -- > (4 x 12) = 48.
Perimetro = 48.

Come calcolare l'area del rombo

Dopo aver imparato a calcolare il perimetro, occupiamoci dell'area, la cui formula è po' più difficile.
In questa operazione entrano in gioco le diagonali viste prima.

L'area è uguale alla diagonale maggiore (d1) per diagonale minore (d2), il tutto diviso (o fratto) due.
  • AREA DEL ROMBO = (d1 x d2) / 2
Riassumendo, ecco le due formule per calcolare perimetro e area del rombo:
P (perimetro) e A (area) del rombo - Formule

Esercizio 1
Calcolare il perimetro e l'area del rombo con lato pari a 10 e con diagonali pari a 12 e a 20
  • P = 4 x a = 4 x 10 = 40
  • A = (d1 x d2) / 2 = (12 x 20) / 2 = 240 / 2 = 120
Esercizio 2
Dato il lato del rombo (21) e una sola delle sue diagonali (17), trovare perimetro e area.
Per questa soluzione leggi il secondo approfondimento qui sotto.

Due approfondimenti:

1) Dimostrazione della formula del rombo
Guardando il disegno sopra, secondo voi, a cosa corrisponde l'area del rombo?
Come scritto in precedenza, le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli.
E' quindi giusto affermare che l'area del rombo equivale alla somma delle aree dei quattro triangoli.

Dato che i triangoli sono uguali tra loro, basterà allora calcolare una sola area di uno dei quattro triangoli e poi moltiplicare per 4.

E come facciamo? Rileggendo la nostra pagina "Come calcolare l'area di un triangolo", scopriamo che l'area del triangolo è uguale a "base (b) per altezza (h) diviso due":
  • Area Triangolo = (b x h)/2
Va bene, ma dove troviamo la base e l'altezza del triangolo interno al rombo?
Guardate la figura:


Prima abbiamo visto che le diagonali uniscono i punti A e C (d1), B e D (d2).
I lati del triangolo sono formati da una parte delle due diagonali. Per essere precisi, sono formati dalla metà della lunghezza delle due diagonali.

Prendendo il triangolo in alto a destra, formato dai due punti B e C, abbiamo che la sua base non è altro che la metà della diagonale d2, cioè d2 dviso 2; mentre la sua altezza è pari alla diagonale d1 diviso 2.

Triangolo BC
Base = d2 / 2
Altezza = d1 / 2

L'area del triangolo è: 
(Base x Altezza) / 2.

A questo punto basta sostituire e avremo:
[(d2 / 2) x (d1 / 2)] / 2

Semplificando:
[(d2 x d1) / 4 ] / 2

Sapendo che una frazione diviso un'altra frazione è uguale alla prima frazione moltiplicata per l'inverso della seconda frazione ( il 2 diventa 1/2):
[(d2 x d1) / 4] x [1/2] = 
(d2 x d1) / 8

Quindi, l'area di uno dei quattro triangoli è uguale alla moltiplicazione tra le due diagonali, diviso otto.

Facciamo un ultimo passo in avanti. Abbiamo l'area di uno dei quattro triangoli, abbiamo quattro triangoli uguali dentro il rombo, perciò è sufficiente moltiplicare l'area singola [(d2 x d1) x 8] per 4 volte.

Il 4 si semplifica con l'8 (4:4 = 1 ; 8:4 = 2).

Otteniamo alla fine la formula dell'area del rombo:
  • (d2 x d1) / 2
Diagonale maggiore per diagonale minore, diviso due.

2) Come calcolare la diagonale del rombo, dato il lato e una diagonale
Sei dati che abbiamo sono la misura del lato e di una diagonale, è possibile calcolare l'altra diagonale utilizzando il Teorema di Pitagora.

Infatti, prendendo uno dei triangoli disegnati nel rombo ci accorgiamo di conoscere 2 lati su 3: abbiamo il lato del rombo che è in pratica l'ipotenusa (nella figura sopra il segmento BC), e poi uno dei due lati interni che è la metà della diagonale (d1/2 o d2/2).

La formula per calcolare un lato del triangolo, conoscendo l'altro lato e l'ipotenusa, è:

Lato1 = √(Ipotenusa² - Lato2²)

Cioè, la radice quadrata della differenza tra il quadrato dell'ipotenusa e il quadrato dell'altro lato.

Facciamo un esercizio
Calcolare la diagonale del rombo, sapendo che il lato del rombo è pari a 8 e l'altra diagonale è pari a 12.

Quindi, prendendo il nostro solito triangolo di lato CB, abbiamo che la sua ipotenusa è uguale a 8 e il lato è uguale a metà diagonale: 12 / 2 = 6.

Dalla formula troviamo il terzo lato del triangolo che ci manca, che poi sarà la metà della diagonale.

Lato1 = √(8² - 6²) = √(64 - 36) = √(28) = 5,3

E questo è il terzo lato (del triangolo) che ci mancava: 5,3.
Per calcolare la diagonale del rombo basterà moltiplicare per 2, ottenendo 10,6.

Il rombo ha quindi un lato di 8, e le due diagonali di 12 e 10,6.

Con questi tre dati possiamo poi trovare facilmente perimetro e area. Provate voi come esercizio.

Perimetro e Area di altre figure geometriche

Seguendo i collegamenti in blu riportati qui sopra in elenco, potrai leggere le relative pagine con tutte le informazioni sulla figura piana scelta.

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