Polinomi, operazioni: moltiplicazione e divisione

Dopo aver visto l'addizione e la sottrazione passiamo ora a moltiplicazioni e divisioni tra polinomi.

Iniziamo con la moltiplicazione, provando a capire i vari casi possibili. Oltre alla spiegazione passo-passo proveremo anche a risolvere qualche esercizio, sia facile che difficile. Se credi sia utile, fai prima un ripasso delle operazioni tra monomi.

Moltiplicazione di un polinomio per un monomio
In questo caso ci serviamo della proprietà distributiva, la quale rende possibile moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio. Vediamo come, prima con un esempio facile e poi con uno più complicato.
(a +  b2)·2a=
Moltiplichiamo il primo termine "a" del polinomio ("a +  b2") per il monomio "2a", dopodiché moltiplicheremo il secondo termine "b2" del polinomio per il monomio "2a".

Quindi avremo:
a·2a2 + 2a2·b2 
cioè
2a3 + 2a2b2 
Secondo esercizio
(5a2 - ab + b2 - 3a3)·4b2 =
20a2b- 4ab3 + 4b4 - 12a3b2)
Alla fine è come fare più moltiplicazioni tra due monomi, prendendo un termine del polinomio alla volta. Ricordiamo che nelle moltiplicazioni tra potenze con stessa base, gli esponenti si sommano. Potrebbe servire anche un ripasso delle regole dei segni.

Moltiplicazione di due polinomi
In questo caso, sempre utilizzando la proprietà distributiva, basterà moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.
Come prima, cominciamo con un esercizio semplice per poi risolverne uno più difficile.
(3a +  b2)·(a2 +  5b) =
Le moltiplicazioni da fare sono le seguenti:
  • 3a ·a= 3a3
  • 3a ·5b = 15ab
  • b2·a= a2b2
  • b2·5b = 5b3
Così abbiamo preso in considerazione ogni termine di entrambi i polinomi.
Scrivendo ora tutto su una riga, otteniamo il prodotto tra i due polinomi:
3a3 + 15ab + a2b2 + 5b3
Secondo esercizio
(3a +  b2 - c)·(a3 - 4b + c3) =
= 3a·(a3 - 4b + c3) + b2·(a3 - 4b + c3) - c·(a3 - 4b + c3) =
= 3a4 - 12ab + 3ac3 + a3b2 - 4b3 + b2c3 - a3c- 4bc + c4 =
E otteniamo un bel polinomio complesso che non possiamo semplificare ulteriormente dato che non vi sono monomi con parte letterale uguale.

Divisione di un monomio per un polinomio
La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Un monomio diviso per un polinomio sarà il monomio fratto il polinomio.

Esempio
5ab : (3a - 6b) =
= 5ab / (3a - 6b)
Divisione tra polinomi
Lo stesso discorso vale per un polinomio diviso per un altro polinomio.

Ad esempio,
(3a +  b2 - c) : (a3 - 4b + c3) =
sarà uguale a
(3a +  b2 - c)
___________
(a3 - 4b + c3)
Volendo, potremmo anche scriverlo in questo modo:
(3a) / (a3 - 4b + c3) +  (b2) / (a3 - 4b + c3) - (c) / (a3 - 4b + c3)
Cioè con tre frazioni aventi lo stesso polinomio come denominatore e come nominatore ciascun termine del primo polinomio.

La divisione è abbastanza semplice, il segno diviso viene sostituito da una linea di frazione.

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