Finora abbiamo visto la risoluzione di operazioni abbastanza semplici nel mondo algebrico dei monomi e dei polinomi. Magari con una potenza bassa, alla seconda o alla terza.
Bene, ma come si può risolvere facilmente un binomio con esponente superiore, elevato alla quarta, alla quinta, alla sesta, e così via?
Per nostra fortuna, nel corso della storia, sono vissuti personaggi straordinari che hanno preso la matematica e l'hanno "rivoltata come un calzino", rendendo la vita dei posteri un po' più serena.
In questa pagina vi scrivo qualcosa sul Triangolo di Tartaglia, particolarmente utile per calcolare i coefficienti delle potenze di (a + b) ⁿ, dove "n" è l'esponente del nostro binomio. Pensiamo ad esempio a questi tre monomi:
- (a + b) ⁴
- (a + b) ⁵
- (a + b) ⁶
Sembrerebbero alquanto complicati... e invece con un piccolo stratagemma si risolvono in pochi secondi.
Prima di procedere, però, è d'obbligo un omaggio biografico all'autore di questo trucchetto matematico.
Il matematico italiano, famoso per l'omonimo "triangolo" e per aver risolto le equazioni di terzo grado con una formula risolutiva, Niccolò Fontana, soprannominato "Tartaglia" per via della sua balbuzie, è nato a Brescia (in Lombardia) nel 1499 circa ed è morto a Venezia (nel Veneto) nel 1557, all'età di 58 anni.
Perfetto, possiamo passare oltre introducendo il Triangolo di Tartaglia:
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| Il Triangolo di Tartaglia |
Come potete notare, nello schema presente in lavagna, abbiamo una piramide di numeri che partono dall'1 e che crescono andando verso il basso. A destra, ad ogni riga corrisponde un valore di "n", ossia l'esponente del binomio.
Per n=0 c'è l'1, per n=1 c'è la sequenza 1 1, per n= 5 la sequenza 1 5 10 10 5 1, e così via, si potrebbe continuare anche per n=6, n=7, eccetera.
Come si costruisce il Triangolo di Tartaglia
Sapete come si realizza questa piramide? Non è complicato, anzi, è pure divertente, come alcuni giochi dell'enigmistica o indovinelli di logica.
Iniziando dall'alto, ogni numero non è altro che la somma dei due numeri inseriti sopra di esso in diagonale.
Prendiamo ad esempio il 3, questo si trova al di sotto dei numeri 1 e 2, e la loro somma dà appunto 3.
Così come il 5 è dato dal 4 + 1 della riga precedente e il 10 dal 5+5.
Se volessimo continuare il triangolo con un'altra riga, avremo ai margini (destro e sinistro) sempre il numero 1 e poi, partendo da sinistra verso destra: 6 (dal 5+1), 15 (dal 5+10), 20 (da 10+10), 15, 6.
Chiaro, no? Sì? Bene, continuiamo.
A cosa serve, come si utilizza il Triangolo di Tartaglia
In pratica, in base all'esponente ("n") del nostro binomio otteniamo subito i coefficienti corrispondenti nel triangolo (quelli presenti nella stesse riga).
Vediamo qualche esempio.
Per un binomio del tipo (a+b)² , dove n=2, guardando lo schema notiamo che nella riga di n=2 ci sono i numeri 1 2 1, che sono i tre coefficienti che ci serviranno per la risoluzione del quadrato del binomio.
Infatti (a+b)² è uguale a: (a² + 2ab + b²), che presenta appunto i coefficienti 1 2 1 (ovviamente, come ben sapete, il coefficiente è sottinteso, quindi si può anche non mettere. Tuttavia, se volete avere un quadro più chiaro potete scriverli, in questo modo (1a² + 2ab + 1b²).
Proviamo con un esercizio più difficile.
- (a + b) ⁴
Quindi, n=4 e nel Triangolo di Tartaglia corrisponde alla sequenza 1 4 6 4 6 1, come potete vedere qui sotto:
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| Triangolo di Tartaglia con esponente 4 |
Non ci resta che riscrivere i coefficienti davanti ai vari monomi:
- (a + b) ⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Nota bene: l'esponente di "a" in "ab" decresce: 4, 3, 2, 1, mentre quello di "b" cresce: 1, 2, 3, 4.
Proviamo anche con
- (a + b) ⁵
- n= 5, perciò i coefficienti sono: 1 5 10 10 5 1
- li inseriamo nel nostro polinomio:
a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
Hai capito il buon vecchio Tartaglia...
Così è molto più facile risolvere questi binomi elevati ad una potenza maggiore del solito 2 e 3.
Come si comportano le potenze nei vari monomi
Basta inserire all'inizio e alla fine del risultato le due lettere (a e b) con l'esponente "n".
In mezzo inseriamo i nostri coefficienti e la parte letterale (ab) facendo decrescere l'esponente di "a" e facendo crescere l'esponente di "b" (osservate gli ultimi due esercizi, notate la sequenza di esponenti in "ab", con "a" in decrescita e "b" in crescita?) . E il gioco è fatto, si risolve un binomio complesso in pochi secondi.
In mezzo inseriamo i nostri coefficienti e la parte letterale (ab) facendo decrescere l'esponente di "a" e facendo crescere l'esponente di "b" (osservate gli ultimi due esercizi, notate la sequenza di esponenti in "ab", con "a" in decrescita e "b" in crescita?) . E il gioco è fatto, si risolve un binomio complesso in pochi secondi.
Se avete dubbi, domande, scrivete pure qui sotto!
fino alla 4° riga la lettura trasversale del triangolo corrisponde a 11 elevato a 2,3,4.
RispondiEliminaE' una coincidenza o c'è una logica che mi sfugge ????
Salve, il Triangolo di Tartaglia è davvero straordinario e non basterebbe una pagina per descrivere tutte le sue particolarità.
EliminaNel caso da lei segnalato, ha ragione, ma... c'è un "ma":
11⁵ fa 161.051, che non corrisponde alla 5° riga del triangolo. Giusto. Tuttavia, prendendo quei numeri della 5° riga (1, 5, 10, 10, 5, 1) e utilizzandoli come coefficiente delle potenze di 10, si ha:
1x10⁵ + 5x10⁴ + 10x10³ + 10x10² + 5x10¹ + 1x10⁰ =
= 100.000 + 50.000 + 10.000 + 1000 + 50 + 1 = 161.051, cioè 11⁵.
Buon proseguimento.