Geometria elementare. Tipi di triangoli e perimetro

La geometria, per alcuni, è forse la parte più divertente della matematica. In questa pagina parleremo di una figura piana semplice, ma non troppo: il triangolo.

Il triangolo è formato da tre lati e tre angoli (la cui somma deve sempre dare 180 gradi).

Ogni lato può essere uguale, più lungo o più corto degli altri due. Allo stesso modo, un angolo può avere inclinazione uguale, maggiore e o minore degli altri (potrebbe esserti utile il precedente capitolo, dove si parla proprio dei vari tipi di angolo; trovi il collegamento a fine pagina).

In generale, il perimetro di un triangolo è dato dalla somma dei tre lati.

Iniziamo dal più semplice, il triangolo equilatero

Geometria. Triangolo equilatero

Come potete vedere, i tre lati sono uguale, hanno la stessa misura (lo dice anche la parola: equi-latero). Nominandoli con le prime tre lettere dell'alfabeto abbiamo che A = B = C.
Anche i tre angoli, formati dall'incrocio dei lati, sono tutti della stessa ampiezza.

Dalla base (lato C) al vertice (incontro dei due lati A e B) abbiamo l'altezza.

Questo è l'unico caso in cui il perimetro è calcolabile moltiplicando la misura di un lato per tre. Infatti, sommare tre lati uguali equivale a moltiplicare il lato per tre. Facciamo un esercizio.

• Abbiamo un triangolo equilatero con base uguale a 5.
  Quindi un lato misura 5 e, dato che tutti i lati sono uguali, anche gli altri due sono pari a 5.
  Il perimetro (A+B+C ) sarebbe: 5 + 5 + 5 = 15
  Possiamo anche fare: 5 x 3 = 15.

Passiamo al triangolo rettangolo

Geometria. Triangolo rettangolo

Qui sopra abbiamo due esempi di triangolo rettangolo.
Nel primo i lati A e B sono uguali (è un caso di "triangolo rettangolo isoscele", leggi sotto le caratteristiche dell'isoscele), mentre nel secondo A è più corto. In tutti e due i casi il lato C è più lungo.
A e B vengono anche chiamati "cateti", mentre il lato più lungo (C) viene chiamato "ipotenusa".

Si definisce "rettangolo" perché ha un angolo retto, quello formato dall'incrocio del lato A con il lato B.

L'altezza parte dalla base, il lato più lungo (C), e termina al vertice AB (anche nel triangolo a destra).

Il perimetro di un triangolo rettangolo sarà uguale alla somma dei tre lati. Esercizio.

• 1° caso (cateti uguali)
  Il lato A misura 5, mentre il lato C misura 8.
  Sappiamo che A = B, quindi anche B misura 5.
  Il perimetro sarà uguale a: 5 + 5 + 7 = 17.
• 2° caso (cateti diversi)
  A = 3, B = 4 e C = 5
  Perimetro (A + B + C) = 3 + 4 + 5 = 12.

Vediamo il triangolo isoscele

Geometria. Triangolo isoscele

Il triangolo isoscele si definisce così perché ha due lati e due angoli congruenti, cioè di stessa ampiezza.

Come nel precedente i due lati A e B sono uguali, ma c'è una differenza: il lato C (cioè la base) è più piccolo (minore) degli altri due lati. Proviamo con un esercizio.

• Un triangolo isoscele ha due lati pari a 7 e un lato pari a 4, qual è il suo perimetro?
• Come al solito, si sommano i tre lati (A+B+C): 7 + 7 + 4 = 18.

Un caso particolare riguarda il triangolo rettangolo isoscele: sempre due angoli congruenti e due lati (A e B) di egual misura che formano il terzo angolo di 90° (quindi retto).

Lo puoi vedere nella lavagna precedente, il primo triangolo a sinistra: l'angolo retto è quello formato dall'incontro tra i due lati uguali A e B.

Il triangolo scaleno.

Geometria. Triangolo scaleno

Il triangolo scaleno si differenzia dagli altri perché ha tutti e tre i lati di misura diversa. A, B e C hanno valori differenti. Sarà più chiaro con un esercizio.

• Il lato A misura 4, il B è pari a 3 e C misura 5, qual è il perimetro?
  
• Il perimetro di un triangolo è pari alla somma dei suoi tre lati (A + B + C): 4 + 3 + 5 = 12.

Altri tipi di triangolo

• Il triangolo acutangolo ha tutti gli angoli acuti (come dice il nome), cioè minori di 90 gradi (90°). Ad esempio, sia il triangolo equilatero che quello isoscele sono triangoli acutangoli.
• Il triangolo ottusangolo ha invece un angolo ottuso, cioè maggiore di 90°, e due acuti (minori di 90°)

Esercizi svolti sul perimetro dei triangoli

1. Problema
   Un triangolo equilatero ha un lato uguale a 4,5 cm.
   Prova a calcolare il suo perimetro.
   Soluzione
   Sappiamo che un triangolo equilatero ha tutti e tre i lati uguali, quindi anche gli altri due misureranno 4,5 cm. Sommando i lati si ottiene:
   4,5 + 4,5 + 4,5 = 13,5 cm
   Oppure,
   4,5 x 3 = 13,5 cm
2. Problema
   Un triangolo isoscele ha la base di 5,7 cm e gli altri due lati pari a 30 mm.
   Qual è il perimetro?
   Soluzione
   Come sempre, dobbiamo sommare i tre lati, ma serve prima un altro passaggio: trasformare i mm in cm. Un centimetro è uguale a 10 millimetri, perciò 30 mm equivalgono a 3 cm.
   Ora che abbiamo tutti i dati, procediamo.
   Perimetro: 5,7 + 3 + 3 = 11,7.
3. Problema
   Il perimetro di un triangolo equilatero misura 25,5.
   Quanto misureranno i suoi lati?
   Soluzione
   Questo tipo di figura ha i tre lati uguali, quindi basterà fare l'operazione inversa: invece di moltiplicare per 3, dividiamo per 3.
   Lato = 25,5 : 3 = 8,5
   Infatti, sommando tre volte 8,5 otteniamo il perimetro 25,5.
4. Problema
   Un triangolo scaleno ha i lati espressi in diverse misure: 0,5 dm (decimetri), 4,7 cm (centimetri), 30 mm (millimetri).
   Calcolare il perimetro.
   Soluzione
   Prima di tutto si devono trasformare i dati nella stessa unità di misura: scegliamo i millimetri.
   0,5 dm sono pari a 50 mm, mentre 4,7 cm sono pari a 47 mm.
   Ora che abbiamo i tre lati in millimetri basterà fare la somma per trovare il perimetro: 50+47+30 = 127.

Capitoli

• Capitolo precedente: Linee, punti, angoli. Solidi e superfici
• Capitolo successivo: Parallelogrammi. Problemi ed esercizi risolti

Per approfondimenti

• Il perimetro e l'area di un triangolo
• Il Teorema di Pitagora.

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