Operazioni con binomi: prodotto della somma per la differenza
Per quanto riguarda i binomi (ad esempio a + b, ossia la somma di due monomi) esistono alcune regole particolarmente utili, e facilmente dimostrabili, che abbreviano i nostri tempi di calcolo, senza dover affrontare tutti i passaggi previsti.
Tra queste "formulette" vorrei segnalare il prodotto (moltiplicazione) tra due binomi, ognuno dei quali caratterizzato da un'operazione differente, opposta, cioè somma e sottrazione (differenza).
Probabilmente un esempio renderà l'idea meglio di mille altre parole. Ecco una spiegazione semplice.
( a + b ) ( a - b ) = ?
Ricordiamo che mettere le parentesi una vicina all'altra, come nell'esempio, equivale a inserire tra le stesse un simbolo di moltiplicazione ("per", "x", oppure, a volte, si usa il puntino "·" a mezza altezza), cioè:
( a + b ) x ( a - b ) = ?
Vogliamo quindi moltiplicare il primo binomio ( a + b ) caratterizzato da un'operazione interna di somma, con il secondo binomio ( a - b ) caratterizzato, invece, da una sottrazione, differenza ( a - b ).
Bene, chiarita la premessa, passiamo subito al risultato finale che ci fa risparmiare molto tempo e ulteriori calcoli:
( a + b ) ( a - b ) = a² - b²
Fatto. Ecco il risultato finale. Non è fantastico quando otteniamo questo tipo di finale così pulito e semplice? Già.
Possiamo imparare questa regola a memoria, ossia che il prodotto della somma di un binomio per la differenza dello stesso binomio dà come risultato la differenza dei quadrati, ma potrebbe essere utile anche capire come è stato possibile arrivare a tale conclusione.
Dimostrazione
Seguendo passo passo avremmo, moltiplicando ogni monomio per gli altri due, tenendo ben presenti i segni "più" e "meno":
( a + b ) · ( a - b ) = a² - ab + ab - b²
perché
a · a = a²
a · (-b) = - ab
b · a = ab
b · (-b) = - b²
Ma, attenzione, -ab + ab si annullano a vicenda (è come dire -4 + 4) e danno quindi come risultato "0" (zero). Perciò, rimarranno solo i due quadrati (a² - b²), con un'operazione di differenza perché "b" si porta dietro il segno negativo.
Per approfondire il discorso sui binomi, ti consiglio di leggere anche
Tra queste "formulette" vorrei segnalare il prodotto (moltiplicazione) tra due binomi, ognuno dei quali caratterizzato da un'operazione differente, opposta, cioè somma e sottrazione (differenza).
Probabilmente un esempio renderà l'idea meglio di mille altre parole. Ecco una spiegazione semplice.
( a + b ) ( a - b ) = ?
Ricordiamo che mettere le parentesi una vicina all'altra, come nell'esempio, equivale a inserire tra le stesse un simbolo di moltiplicazione ("per", "x", oppure, a volte, si usa il puntino "·" a mezza altezza), cioè:
( a + b ) x ( a - b ) = ?
Vogliamo quindi moltiplicare il primo binomio ( a + b ) caratterizzato da un'operazione interna di somma, con il secondo binomio ( a - b ) caratterizzato, invece, da una sottrazione, differenza ( a - b ).
Bene, chiarita la premessa, passiamo subito al risultato finale che ci fa risparmiare molto tempo e ulteriori calcoli:
( a + b ) ( a - b ) = a² - b²
Fatto. Ecco il risultato finale. Non è fantastico quando otteniamo questo tipo di finale così pulito e semplice? Già.Possiamo imparare questa regola a memoria, ossia che il prodotto della somma di un binomio per la differenza dello stesso binomio dà come risultato la differenza dei quadrati, ma potrebbe essere utile anche capire come è stato possibile arrivare a tale conclusione.
Dimostrazione
Seguendo passo passo avremmo, moltiplicando ogni monomio per gli altri due, tenendo ben presenti i segni "più" e "meno":
( a + b ) · ( a - b ) = a² - ab + ab - b²
perché
a · a = a²
a · (-b) = - ab
b · a = ab
b · (-b) = - b²
Ma, attenzione, -ab + ab si annullano a vicenda (è come dire -4 + 4) e danno quindi come risultato "0" (zero). Perciò, rimarranno solo i due quadrati (a² - b²), con un'operazione di differenza perché "b" si porta dietro il segno negativo.
Per approfondire il discorso sui binomi, ti consiglio di leggere anche
- Calcolo del quadrato di un binomio.
- Polinomi: addizione e sottrazione
- Polinomi: moltiplicazioni e divisioni
- Polinomi: prodotti notevoli
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