Polinomi con prodotti notevoli. Cosa sono ed esercizi svolti

Continuiamo con la nostra bella algebra e i nostri polinomi, in particolare le operazioni che si possono fare. Ad esempio, come abbiamo visto nei capitoli precedenti, le moltiplicazioni potrebbero risultare difficili a prima vista e portare ad una serie di monomi di vario grado.

Per fortuna non sempre tutto, in matematica, diventa complicato. Parliamo dei prodotti notevoli, cioè quelle soluzioni di moltiplicazioni e divisioni di polinomi che non richiedono troppi calcoli e scomposizioni. Sono risultati immediati, veloci da trovare, senza passaggi intermedi.

Questo accade perché alcune parti del risultato si eliminano, lasciando così dei prodotti semplici, brevi, notevoli.

Elenco di Prodotti notevoli

Partiamo da uno dei più facili

Prodotto tra somma e differenza di due monomi
(a+b)·(a-b) = a2 - b2
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza dei quadrati dei due monomi. Infatti, +ab - ab, essendo uguali tra loro e di segno opposto, vengono eliminati.
Proviamo a sostituire dei numeri alle lettere, ponendo a=6 e b=4. Avremo:
(6+4)·(6-4) = 10·2 = 20
che è lo stesso risultato che otteniamo da a2 - b2:
62 - 42 = 36 - 16 = 20 
Esercizio
(5a + 3b2)·(5a - 3b2) = (5a)2 - (3b2)2 = 25a2 - 9b4
Quadrato di un binomio con somma
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo.
Con i numeri
(3 + 5)2 = (8)= 64
che è lo stesso risultato che si ottiene da a2 + 2ab + b2 
32 + 2·(15) + 52 = 9 + 30 + 25 = 64 
Esercizio
(2x+3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
Quadrato di un binomio con differenza
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Il quadrato di un binomio (con sottrazione di monomi) è uguale al quadrato del primo termine meno il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo.
Con i numeri
(5 - 3)2 = (2)= 4
che è lo stesso risultato che si ottiene da a2 - 2ab + b2 
52 - 2·(15) + 32 = 25 - 30 + 9 = 4 
Esercizio
(4x - y)2 = 16x2 - 8xy + y2
Cubo di un binomio con somma
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab+ b3
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.
Con i numeri
(3 + 2)3 = (5)= 125
che è lo stesso risultato che si ottiene da  a3 + 3a2b + 3ab+ b3 
33 + 3·(18) + 3·(12) + 23 = 27 + 54 + 36 + 8 = 125
Esercizio
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab+ b3
Cubo di un binomio con differenza
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab- b3
Il cubo di un binomio (con differenza di monomi) è uguale al cubo del primo termine, meno il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, meno il cubo del secondo termine.
Con i numeri
(5 - 2)3 = (3)= 27
che è lo stesso risultato che si ottiene da  a3 - 3a2b + 3ab- b3 
53 - 3·(50) + 3·(20) - 23 = 125 - 150 + 60 - 8 = 27
Esercizio
(x-2y)3 = x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3
Quadrato di un trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei singoli monomi, più il doppio prodotto di ognuno di essi per ciascuno degli altri monomi.
Con i numeri
(3 + 2 + 4)2 = (9)2 = 81
risultato che otteniamo anche con a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
32 + 22 + 42 + 2·(3·2) + 2·(3·4) + 2·(2·4) = 9 + 4 + 16 + 12 + 24 + 16 = 81 
Esercizio con somma e differenza
(2x + y - 3z)2 = 4x2 + y2 + 9z2 + 2xy - 6xz - 3yz
Somma e differenza di due cubi
a3 + b3 = (a+b)·(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a-b)·(a2 + ab + b2)


Riassunto. Schema dei principali prodotti notevoli
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Bene. Spero sia stata utile come spiegazione. Se avete dubbi, domande relative all'argomento, potete scrivere qui in basso.

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