Polinomi, cosa sono? Definizione e proprietà

Algebra. Dopo aver studiato i monomi è giunto il momento di passare al livello successivo, i polinomi. Iniziamo subito con la definizione:

Un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi.

Proviamo con qualche esercizio.

2a + 4b + c
4a3 - b5

Ovviamente, sia somma che differenza. Infatti, potremmo vedere (4a3 - b5 ) come (4a3 ) + (-b5 ).

Dato che ogni monomio potrebbe essere uguale a se stesso sommato ad un monomio nullo, ne consegue che ogni monomio, in realtà, è un polinomio.

4b + 0 = 4b
(polinomio) = (monomio)

Vediamo altre caratteristiche dei polinomi
  • Ogni monomio, all'interno del polinomio, si dice termine del polinomio
  • Un polinomio formato da due termini si dice binomio (esempio: a+2b)
  • Un polinomio formato da tre termini si dice trinomio (esempio: 3a+2b-c)
  • Un polinomio si dice intero se tutti i suoi termini sono monomi interi. Altrimenti si dice frazionario.
Grado di un polinomio
Il grado di un polinomio è uguale al grado maggiore tra i gradi dei suoi termini.

Per esempio: a3 + b5  - 4c2 + d3 
Il grado massimo è 5, poiché è maggiore degli altri (3, 2, 3).
Quindi, il grado del nostro polinomio è pari a 5.

Nel caso in cui i singoli termini (monomi) siano composti da più lettere, il grado del singolo monomio sarà dato dalla somma dei suoi coefficienti.

Per esempio: a3b4  - 4bc2 + c2d3
nel primo termine abbiamo un grado pari a 7 (3+4)
nel secondo il grado è 3 (1+2)
nel terzo è 5 (2+3)
Di conseguenza, essendo 7 il grado più alto rispetto agli altri (3 e 5), il grado del polinomio sarà 7.

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Altre proprietà dei polinomi
  • Un polinomio si dice omogeneo di grado n se tutti i suoi termini sono di grado n;
    esempio: a3b4 - 4bc6 + c2d5
    ogni termine ha grado pari a 7, il polinomio si dice quindi omogeneo
  • Un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera se i termini sono messi in modo tale che gli esponenti di quelle lettera siano disposti in ordine crescente o decrescente;
    esempio: 3a4b - 4a3 + 2a2c5 - a
    gli esponenti di "a" sono in ordine decrescente: 4, 3, 2, 1
  • Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera se tale lettera presenta tutti gli esponenti fino allo zero;
    esempio: 2a3b - 3a2 + ac5 - 5
    dato che l'ultimo termine lo si potrebbe scrivere come 5a0 , sapendo che una qualsiasi base elevata a zero è pari a 1, siamo di fronte ad un polinomio completo rispetto ad a, con esponenti decrescenti da 3 a 0.
Polinomi, riduzione a forma normale
Come avevamo visto per i monomi, anche per il polinomi esiste un modo per semplificarli, per renderli in forma normale.
Non tutti possono essere semplificati, è indispensabile che almeno due termini siano formati da identica base letterale.

Per esempio: 3a3b5 - 4bc2 + 5a3b5
il primo e il terzo termine hanno la stessa base letterale, cioè a3b5, quindi si possono sommare, ottenendo (3+5)a3b5 - 4bc2 = 8a3b5 - 4bc2 (cioè, il nostro polinomio ridotto in forma normale).

Un consiglio: quando vediamo un polinomio, il primo passo da fare è proprio quello di verificare se sia possibile semplificarlo, renderlo più semplice.

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